专题3 等差数列与等比数列
1．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）记数列的前n项积，已知，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题设，即，，即，
，即，，即，
所以，故选B
2．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，
的公比.
故选：A.
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
【答案】D
【解析】设等比数列的首项为，公比为，则显然，
因为
所以，解得，
由，得，
所以.
故选:D.
4．（2023·广西柳州·统考三模）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听123 456 向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】C
【解析】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则=2，，
因为，所以，即得.
故选：C
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．2n C． D．
【答案】D
【解析】令，
由可得：，
两式作差可得：，
化简整理可得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，进而可得：．
故选：D．
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列中，，，若，则正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，可得，
因为，则，即，可得，同理可得，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，等式两边取倒数可得，则，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
所以，，故，由可得.
故选：A.
7．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故充分性成立；
若，且，则，
所以由对于任意，，推不出，故必要性不成立；
所以“公比”是“对于任意，”的充分不必要条件.
故选:A
8．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由性质知，则，且，
则，
令，得，即前项都是负数，
所以最小，所以.
故选:D
9．（2023春·吉林通化二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知①，
当时，，
当时，②，
①-②，得，
若，，符合题意，
所以，则，
所以，
则
.
故选：D.
10．（2023·河南安阳·统考二模）如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（ ）．
A．210 B．445 C．780 D．1225
【答案】B
【解析】由题可知当时，.
根据定义，当时，.
则.
故
.
故选：B
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A． B．当时，
C． D．
【答案】BC
【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，
所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，
所以，所以C正确；
D选项：，
当且仅当时，等号成立．所以D不正确．
故选:BC.
12．（多选题）（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为和可知，数列的各项均为正值，
由可得，所以，则数列为递减数列，故选项A正确；
由选项A的分析可知：数列为递减数列，又因为，所以，故选项B正确；
由两边同时取倒数可得，
则，所以，
因为数列为递减数列，
由可得，
当时，，即，
当时，，即，，
，
不等式累加可得：，
所以，则，
所以，故选项C错误；
由可得，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
13．（多选题）（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为等比数列 D．
【答案】BCD
【解析】由题可知，当时，，故选项A错误．
当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率．
由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，
所以，得，又，
所以是等比数列，首项为，公比为．C正确；
故，
化简得，故，所以选项BD正确．
故选：BCD.
14．（多选题）（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列是等差数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
15．（多选题）（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以
，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
16．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为________．
【答案】6066
【解析】设等和数列的公和为m．
因为，所以，，，，…，
所以，
又，所以，
所以．
17．（2023·甘肃定西·统考二模）写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式__________.
①是递增的等差数列；②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设等差数列的公差为，由①可知，取，
由，得，则，
所以数列的一个通项公式.
18．（2023·陕西商洛·统考二模）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】当时，，即，解得或.因为，所以.
当时，，所以，即，即.因为，所以，所以，即，则，从而，故，当或时，取得最小值，最小值是.
19．（2023·广东广州·统考二模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，，则，
因此，.
20．（2023·广东·校联考模拟预测）如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）
【答案】16
【解析】由题意可知，图形的边长为1，图形的边长为上一个图形边长的，图形的边长又是上一个图形边长的，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，
所以图形的边长为，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以图形的边数为，
所以图形的周长为，
即，所以
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专题3 等差数列与等比数列
1．（2023·山东潍坊一中二模）记数列的前n项积，已知，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
2．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
4．（2023·广西柳州·统考三模）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听123 456 向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．2n C． D．
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列中，，，若，则正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
9．（2023春·吉林通化二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·河南安阳·统考二模）如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（ ）．
A．210 B．445 C．780 D．1225
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A． B．当时，
C． D．
12．（多选题）（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C． D．
13．（多选题）（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为等比数列 D．
14．（多选题）（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列是等差数列
15．（多选题）（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
16．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为________．
17．（2023·甘肃定西·统考二模）写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式__________.
①是递增的等差数列；②.
18．（2023·陕西商洛·统考二模）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是___________.
19．（2023·广东广州·统考二模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.
20．（2023·广东·校联考模拟预测）如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）
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