2023—2024学年度第一学期期中质量评估试题（卷）九年级数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0．618，这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．如图，直线，直线AC和DF被直线、、所截，，，，则DE的长为（ ）
A．7 B． C． D．
5．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响，据统计，2021年全国生活垃圾无害化处理能力约为2．5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2023年提升到约亿吨，如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四边形ABCD和A'BC'D'是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，连接AE，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若，则的值是 ．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于40%，由此可估计袋中约有红球 个．
13．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 cm．
14．为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若，则GF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题共10分）解方程：
（1） （2）
17．（本题共9分）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务，
解： 二次系数化为1，得 第一步 移项，得 第二步 配方，得，即 第三步 由此，可得 第四步 所， 第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ；
②“第二步”变形的数学依据是 ；
③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ；
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：
18．（本题共8分）小明参加某个“知书答理”竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项（分别表示为A，B，C），第二道单选题有4个选项（分别表示为a，b，c，d），这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
19．（本题共8分）如图，在中，，BD为的中线．，，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若，，求DE的长．
20．（本题共8分）应用题：
某菜农在2022年12月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏多少天．
21．（本题共8分）阅读与思考
【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜（即），手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．
（1）求BC的长；
（2）求灯泡到地面的高度AG．
22．（本题共11分）综合与实践：
如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB 的延长线于点G．
（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是 ；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若、，请直接写出的值．（用含a、b的代数式表示）
23．（本题共13分）综合与探究：
如图（1），在四边形ABCD中，，，，，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为，．
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出的值．
九年级数学参考答案与评分标准
一、选择题
1——5．CDCBC 6——10．DABDB
二、填空题
11． 12．8 13．11 14． 15．
三、解答题
16．（1）解：，
，，
，
，
∴，
（2）解：，∴，
∴，∴，
解得：，．
17．解：任务一：①转化：完全平方公式（或填）
②等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；
③三：，
任务二：
解：
∴
∴
∴或
∴，
18．（1）解：小明答对第一道题的概率是；
（2）解：设第二道单选题中的d选项去掉，画树状图得：
一共有9种等可能的结果数，小明顺利通关的结果数为1，
∴小明顺利通关的概率为．
19．（1）证明：∵，，
∴四边形BDCE为平行四边形，
∵，BD为AC边上的中线，
∴，
∴四边形BDCE为菱形：
（2）解：连接DE交BC于O点，如图，
∵四边形BDCE为菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
20．解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为储藏时间不超过10天，所以不符合题意，舍去．
答：该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏5天．
21．（1）解：∵，
∴，∵，
∴，∴，∴，
解得：，
答：BC的长为3m；
（2）解：∵，∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，又∵，
∴，∴
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度AG为．
22．（1）
（2）成立
证明如下：
如图，过点E分别作，，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形
∴，∵
∴，
∴
由正方形对角线的性质得，AC为的角平分线，则
在和中，
∴
∴；
（3）．
如图所示，
∵,，∴，
∴四边形CBHD是矩形，∵，
∵四边形CBHD是正方形，∴，
∵，∴，
∴，
∵动点P从点D开始沿DA边匀速运动，速度为，
∴；
（2）解：①当时，
由（1）得：，
由题意得：，，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
②当时，∴，
解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
综上所述，或；
（3）当或时，为直角三角形；
解：①当时，
过点作，如图所示，
由（1）可得：，
∴，∴,
∴，∵，
∴，∴，
由（1）得：四边形CBHD是正方形，
∴，∵,，
∴，∴,
由（1）得：，，
∴，∴，
∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解；
②当时，如图所示，
∵，，
∴，∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，，即为直角三角形，
综上所述，当或时，为直角三角形；
