2023-2024学年北京课改新版八年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾管理，维护公共环境和节约资源是全社会公共的责任.2020年5月1日起北京将全面推行生活垃圾强制分类．下列四个垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各有两根，小明与小刚各取了两根木条，均为一根3cm，一根4cm．要使两人所取的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条的长应为（ ）
A．6cm或8cm B．6cm
C．8cm D．以上均不对
3．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环共需要的正五边形个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．如图，在锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是（ ）
A．96° B．100° C．106° D．110°
7．从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，4
8．如图，直线m，n交于点B（夹角不等于60°或120°），点A为直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．若+（b+4）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为 ．
10．已知等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角为40度，那么它的顶角为 ．
11．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B，C，D在同一条直线上，已知AC＝AE＝CD，∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF，EF，分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为 ．
12．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BEP与△CPQ全等．
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝8cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点D，E，F，则BE＝ cm．
15．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合．已知AB＝9，BC＝7，则△BCD的周长为 ．
16．如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，若BE交AD于点F，则∠AFE的大小为 （度）．
三．解答题（共12小题，满分88分）
17．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，那么各边的长是多少？
（2）能围成底边长是10cm的等腰三角形吗？为什么？
18．（1）如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．
（2）用（1）中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数．
19．如图，BD＝AC，OB＝OA，求证：△AOD≌△BOC．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B＝70°，∠BAC＝46°．求∠CAD的度数．
21．如图，在△ABC中，AD是BC的中线，点E是AC上一点，BE交AD于点F，若AE＝EF，求证：BF＝AC．
22．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线AF，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（要求：不写作法，只保留作图痕迹，并标明字母）
（2）求证：DA＝DG．
23．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，D为线段AB的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画出图形．
（1）如图①，在边AC上找一点E，连接DE，使∠ADE＝∠B；
（2）如图②，在边BC上找一点F，连接DF，使DF⊥AB；
（3）如图③，点P在格点上，连接CD，在线段CD上找一点Q，使∠BQD＝∠PQC.
24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，且ED⊥GF，连接EG、EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你判断：BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．
25．点D是∠BAC的平分线上一点，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，连接BC交AD于点M．求证：
（1）BM＝CM；
（2）BC⊥AD．
26．如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点在x轴的上方作菱形OABC，且∠AOC＝60°；同时点G从点D（8，0）出发，以2个单位长度/秒的速度沿x轴向负方向运动，以D、G为顶点在x轴的上方作等边三角形DGE，设点A运动了t秒，求：
（1）点B的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当点A在运动的过程中，当t为何值时，点O、B、E在同一直线上；
（3）当点A在运动的过程中，是否存在t，使得△CGE是以CE为底边的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．在△ABC中，AB＝AC，点P、Q是BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧且AP＝AQ．
（1）如图1，图中有几对全等的三角形？请写出来．
（2）如图1，若BC＝AB，∠BAP＝15°，∠AQP＝ ，∠BAQ＝ ；
（3）在（2）的条件下，在图2中作点Q关于直线AC的对称点M，连接AM、PM．（不必用尺规作图）
①直接写出AM和PM的数量关系；
②求出∠MPC的度数．
28．已知点P（a+2，2a﹣3），根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点Q的坐标为（﹣3，a），直线PQ∥x轴．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：设他俩取的第三根木条长为x，
则：4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，
故选：B．
3．解：360°÷5＝72°，
正五边形的一个内角为180°﹣72°＝108°，
正n边形的一个内角为360°﹣108°﹣108°＝144°，一个外角为180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
则要完全拼成一个圆环共需要的正五边形个数为10．
故选：C．
4．解：A、AD不是△ABC的高；
B、AD不是△ABC的高；
C、AD不是△ABC的高；
D、AD是△ABC的高；
故选：D．
5．解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝130°，
∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝30°，
∴∠A＝20°．
故选：B．
6．解：设∠C′＝α，∠B′＝β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′＝β，∠BAE＝∠B′AE＝42°，
∴∠C′DB＝∠BAC′+AC′D＝42°+α，∠CEB′＝42°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC＝∠C′DB＝42°+α，∠ACB＝∠CEB′＝42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
即126°+α+β＝180°．
则α+β＝54°．
∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC＝42°+α+β＝42°+54°＝96°．
故选：A．
7．解：对角线的数量m＝5﹣3＝2（条）；
分成的三角形的数量为n＝5﹣2＝3（个）．
故选：B．
8．解：分两种情况：
①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，
如图1所示：
其中AB＝AC时，有1个；
AB＝BC时，有2个；
②当AB为底边时，有1个，
如图2所示：
∴△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．解：由+（b+4）2＝0，得
a﹣3＝0，b+4＝0．
解得a＝3，b＝﹣4，
M（3，﹣4）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
10．解：如图，∵一腰上的高与底边的夹角为40°，
∴底角∠C＝90°﹣40°＝50°，
∴顶角∠A＝180°﹣2×50°＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°
11．解：作FJ⊥BC于N，FH⊥AB于H，在HA上截取HK＝JN，连接FK．
∵点F是△ABC的内心，FH⊥AB，FJ⊥BC，
∴FH＝FJ，
∵∠FHB＝∠FJB＝∠HBJ＝90°，
∴四边形FHBJ是矩形，∵FH＝FJ，
∴四边形FHBJ是正方形，
∵∠AFC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB），∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝135°，
∵AC＝AE，∠FAC＝∠FAB，AF＝AF，
∴△AFC≌△AFE（SAS），
∴∠AFC＝∠AFE＝135°，
∴∠EFC＝90°，
同法可证△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠AFC＝∠DFC＝135°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠MFN＝360°﹣90°﹣135°﹣90°＝45°，
∵HK＝JN，∠FJK＝∠FJN，FH＝FJ，
∴△FHK≌△FJN（SAS），
∴FK＝FN，∠JFN＝∠HFK，
∵∠KFN＝∠KFH+∠HFM＝∠HFM+∠JFN＝45°，
∴∠MFK＝∠MFN，
∵FM＝FM，FK＝FN，
∴△MFK≌△MFN（SAS），
∴MN＝MK，
∴MN＝MH+HK＝MH+JN，
∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝BN+NJ+BM+MH＝2BJ＝6．
12．解：如图所示：
过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；
过M作∠AMD＝∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；
因此符合条件的直线共有2条；
故答案为：2．
13．解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝2t，CP＝8﹣2t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣2t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷＝2（厘米/秒）；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，2t＝8﹣2t，
解得t＝2，
∴点Q的运动速度为5÷2＝（厘米/秒）；
故答案为：2或．
14．解：∵△ABC是等边三角形，AD是它的中线，
∴BD＝BC＝×8＝4cm，∠B＝60°．
∵DE⊥AB于E，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝2cm，
故答案为：2．
15．解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，
∴AD＝CD，
∵AB＝9，BC＝7，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝9+7＝16．
故答案为：16．
16．解：∵△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABF+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABF+∠BAD＝60°，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，
∴∠AFE＝60°，
故答案为：60．
三．解答题（共12小题，满分88分）
17．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
由题意得：2x+2x+x＝20，
解得：x＝4，
∴2x＝8，
∴各边长为：8cm，8cm，4cm；
（2）不能围成底边长是10cm的等腰三角形，理由如下：
当10cm为底边长时，腰长＝（20﹣10）＝5（cm），
∵5+5＝10，
∴不能构成三角形，
故不能围成底边长是10cm的等腰三角形．
18．解：（1）∠1+∠2＝∠3+∠4．
理由：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6＝360°．
∴∠1+∠2＝∠3+∠4．
（2）由（1）可知∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝240°．
∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠EDA＝∠MDA，∠EAD＝∠DAN．
∴∠EDA+∠EAD＝×（∠MDA+∠DAN）＝×240°＝120°．
19．证明：∵BD＝AC，OB＝OA，
∴BD+OB＝AC+OA，
∴OD＝OC，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
20．解：∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD
＝46°﹣20°＝26°．
21．证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G
又∵AE＝EF
∴∠CAD＝∠AFE
又∠BFG＝∠AFE
∴∠CAD＝∠BFG
∴∠G＝∠BFG
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
22．（1）解：如图，AF为所作；
（2）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠BAG，
∴∠DAG＝∠G，
∴DA＝DG．
23．解：（1）如图①中，点E即为所求；
（2）如图②，点F即为所求；
（3）如图③，点Q即为所求．
24．（1）证明：∵AC∥BG，
∴∠DBG＝∠DCF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DB，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG＝CF；
（2）BE+CF＞EF，
证明：∵△BDG≌△CDF，
∴DG＝DF，
∵ED⊥GF，
∴EG＝EF，
∵BG+BE＞EG，CF＝BG，
∴BE+CF＞EF．
25．证明：（1）∵D是∠BAC的平分线上一点，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BC⊥AD．
26．解：（1）如图1，作BH⊥x轴于H点，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝1+t，AB∥OC，
∴∠AOC＝∠BAH＝60°，
∴AH＝，BH＝（t+1）＝t+，
∴OH＝t+1+＝，
∴点B（， t+）；
（2）如图1，过点E作EN⊥DG于N，
∵△EGD是等边三角形，
∴GE＝GD＝2t，∠EGD＝60°，
又∵EN⊥GD，
∴DN＝t＝GN，EN＝t，
∴点E（8﹣t， t），
设直线OE的解析式为y＝kx，
∴t＝k（8﹣t），
∴k＝，
∴直线OE的解析式为y＝x，
当点O、B、E在同一直线上，
∴t+＝×，
∴t＝2，
∴当t为2时，点O、B、E在同一直线上；
（3）存在，
如图2，过点C作CM⊥x轴于M，连接CG，CE，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝t+1，∠AOC＝60°，
∴OM＝，CM＝（t+1）＝t+，
∴点C（， t+），
∵△EGD是等边三角形，
∴GE＝GD＝2t，∠EGD＝60°，
∴点G（8﹣2t，0），
∵△CGE是以CE为底边的等腰三角形，
∴CG＝GE＝2t，
∴（8﹣2t﹣）2+（0﹣t﹣）2＝4t2，
∴t1＝6+，t2＝6﹣，
∴t的值为6+或6﹣．
27．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴180°﹣∠APQ＝180°﹣∠AQP，即∠APB＝∠AQC，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（AAS），
∴BP＝CQ，
∴BP+PQ＝CQ+PQ，即BQ＝CP，
在△ABQ和△ACP中，
，
∴△ABQ≌△ACP（SAS），
∴图1中有2对全等三角形，有△ABP≌△ACQ，△ABQ≌△ACP；
（2）由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ＝15°，
∵BC＝AB，AB＝AC，
∴BC＝AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+15°＝75°，
∠BAQ＝∠BAC﹣∠CAQ＝60°﹣15°＝45°，
故答案为：75°，45°；
（3）如图，过点Q作关于直线AC的对称点M，连接AM、PM，
①∵点Q与点M关于直线AC对称，
∴∠CAQ＝∠CAM，AQ＝AM，
∵AQ＝AP，∠BAP＝∠CAQ，
∴AP＝AM，∠BAP＝∠CAM，
∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝60°，
∴∠PAM＝∠CAM+∠CAP＝60°，
∴△APM为等边三角形，
∴AM＝PM；
②由（2）可知，∠AQP＝∠APQ＝75°，
∵△APM为等边三角形，
∴∠APM＝60°，
∴∠MPC＝∠APQ﹣∠APM＝75°﹣60°＝15°．
28．解：（1）令a+2＝0，解得a＝﹣，
∴2a﹣3＝2×（﹣）﹣3＝﹣，
∴P点的坐标为（0，﹣）；
（2）令2a﹣3＝a，解得a＝3．
∴a+2＝×3+2＝，2a﹣3＝2×3﹣3＝3，
所以P点的坐标为（，3）．
