人教B版（2019）必修第一册《3.1.3 函数的奇偶性》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）函数是
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数
2.（5分）定义在上的函数，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
3.（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
4.（5分）定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，大小关系是
A. B. C. D.
5.（5分）函数的部分图像可能是
A. B.
C. D.
6.（5分）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是
A. B. C. D.
7.（5分）函数，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
8.（5分）已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是
A. 函数的最小正周期是
B. 对任意的，都有
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象关于中心对称
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有
A. B.
C. D.
10.（5分）函数是定义在上奇函数，下列说法正确的是
A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，
11.（5分）已知函数在上单调递增，且，，则
A. 的图象关于点对称
B.
C.
D. 不等式的解集为
12.（5分）下列函数中，在其定义域内是偶函数有
A. B. C. D.
13.（5分）下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）函数，则使得成立的范围_________.
15.（5分）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，_____.
16.（5分）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集为______．
17.（5分）已知函数，且，则______．
18.（5分）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则_________．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．
求实数，的值；
求函数在区间上的解析式，并利用定义证明函数在上的单调性．
20.（12分）已知函数
判断函数的奇偶性
用单调性的定义证明函数在上单调递增．
21.（12分）已知函数．
Ⅰ判断并用定义证明函数的奇偶性；
Ⅱ用定义证明函数在上单调递减．
22.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式.
23.（12分）已知函数是定义在上的奇函数．
求，的值；
求的值域；
若对任意，，不等式恒成立，求的范围．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：解得，；
；
；
；
是奇函数．
故选：．
解可得出，从而判断出，从而得出，显然该函数为奇函数．
考查奇函数的定义及判断方法，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号．
2.【答案】D;
【解析】解：根据题意，，，其导数，则函数在上为增函数，
若，则有，
解可得，
即不等式的解集；
故选：．
根据题意，对函数求导，分析可得函数在上为增函数，则不等式可以转化为，解可得的取值范围，即可得答案．
该题考查函数单调性的判定以及应用，关键是分析得到函数的单调性．
3.【答案】D;
【解析】解：函数是非奇非偶函数，故选项A不符合题意；
函数是偶函数，且在区间上单调递减，故选项B不符合题意；
函数是非奇非偶函数，故选项C不符合题意；
函数是偶函数，且在区间上单调递增，故选项D符合题意
故选：．
利用函数的奇偶性与单调性逐个选项判断即可．
这道题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：偶函数满足，
，
函数的周期为．
由于，，，
由于，且函数在上单调递增，
，
故选D．
由条件可得函数的周期为，再根据，，，且，函数在上单调递增，可得，，大小关系．
这道题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5.【答案】A;
【解析】此题主要考查函数的奇偶性与函数图象，根据题意利用排除法即可得到结果，属于基础题.解：函数，，所以函数为奇函数，故排除，，当时，，故排除故选
6.【答案】D;
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
该题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；
对于，，为余弦函数，是偶函数但在区间上不是减函数，不符合题意；
对于，，为二次函数，是偶函数但在区间上是增函数，不符合题意；
对于，，既是偶函数，又在上单调递减，符合题意；
故选：．
7.【答案】A;
【解析】解：，所以在上为一个增函数，
由知函数为一个奇函数，
所以等价于，
所以，解得或
故选：
利用导数判断函数的单调性，由可得函数的奇偶性，从而将不等式转化为，解之即可．
此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，利用导数求函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】A;
【解析】
采用排除法，当时，为常函数，不存在最小正周期；则A错误
根据已知推出，排除；
个面具已知条件推出，说明的图象关于直线对称，排除，
从而选D
该题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．
解：由是偶函数，且，
得，即，
则是周期为的周期函数，所以，
则是的最小正周期为，故排除
，故排除；
，
所以函数的图象关于直线对称，故排除，
因为的对称中心为，所以函数的图象关于中心对称，排除．
故选：．
9.【答案】AD;
【解析】解：因为函数是偶函数，在区间上单调，且，
所以，，，
故，
又函数在区间上单调，
则，，，
故选：
利用偶函数的定义以及函数的单调性，依次判断即可．
此题主要考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查奇函数的定义以及性质，属于中档题．
先根据奇函数的定义判断出对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出对错；由奇函数定义求解函数在时的解析式，判断出正确．
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，故对；
因为奇函数的图象关于原点对称，
若在上有最小值为，则在上有最大值为；故对；
根据奇函数图象的对称性以及在上为增函数，则在上为增函数；故错；
对于，若时，，则时，，故正确；
所以正确的命题有，
故选
11.【答案】ACD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数满足，即，则的图象关于点对称，正确；
对于，函数满足，令可得，又由在上单调递增，则，则有，错误；
对于，函数满足，令可得，又由在上单调递增，则，则有，正确；
对于，函数满足，令可得：，则有，不等式即或，则有或，即不等式的解集为，正确；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
此题主要考查函数单调性以及对称性的应用，注意分析函数的对称中心，属于中档题．
12.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.
根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可.
解：，，则是奇函数，故错误；
，，所以不是偶函数，故错误；
，由得，此时，则
是偶函数，故正确；
，，则是偶函数，故正确.
故选
13.【答案】AD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是幂函数，是奇函数且在定义域内单调递增，符合题意；
对于，，其定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，则为奇函数，且图象关于原点对称，
又由，易知在上为增函数，符合题意；
故选：
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数性质的应用根据已知判断可得函数为偶函数，且当时为减函数，则即，求解即可.
解：函数为偶函数，
且当时，判断可得函数为减函数，
则即，平方可得，
解得或，又因为，
故答案为
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数奇偶性的应用以及解析式的求解，属于基础题.
设时，则，根据题中已知条件，求得，再根据奇函数，即可得到
解： 当时，则，
又当时，，所以，
又因为为奇函数，则，
所以
故答案为
16.【答案】（-4，0）;
【解析】解：根据题意，，且是定义在上的偶函数，
则，则函数为偶函数，
，
又由为增函数且在区间上是减函数，则，
解可得：，
即的取值范围为：；
故答案为：．
根据题意，分析可得为偶函数，进而分析可得，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．
该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的奇偶性与单调性，属于基础题．
17.【答案】10;
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据即可求出，从而可求出．
考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．
18.【答案】;
【解析】解：是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，
，，
，
，，
所以
故答案为：
先由是定义在上的奇函数，结合对称性变形为，
，再由求解．
这道题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用．
19.【答案】解：（1）∵函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，
∴f（0）=0，即，∴b=0，
又因为f（2）=1，所以f（-2）=-f（2）=-1，
即，所以a=1，
综上可知a=1，b=0，
（2）由（1）可知当x∈（-4，0）时，，
当x∈（0，4）时，-x∈（-4，0），且函数f（x）是奇函数，
∴，
∴当x∈（0，4）时，函数f（x）的解析式为，
任取，∈（0，4），且＜，则=，
∵，∈（0，4），且＜，
∴4-＞0，4-＞0，-＜0，
于是f（）-f（）＜0，即f（）＜f（），
故在区间（0，4）上是单调增函数．;
【解析】
根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得出，并可求出，从而可得出，求出；
根据上面知，时，，从而可设，从而得出，从而得出时，，然后根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性：设任意的，，且，然后作差，通分，提取公因式，然后判断与的大小关系即可得出在上的单调性．
该题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为，求奇函数在对称区间上的解析式的方法，以及函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：定义域为，关于原点对称，
，
则为奇函数；
证明：设，
则
，
由于，则，，
则，即．
则在上单调递增．;
【解析】
求出定义域，判断是否关于原点对称，计算与比较，即可得到奇偶性；
运用单调性定义证明，注意取值，作差和变形、定符号及下结论，几个步骤．
该题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由-4≠0得x≠2且x≠-2，即的定义域为{x|x≠2且x≠-2}，定义域关于原点对称，
则f（-x）===f（x），即函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）设2＜＜，
则f（）-f（）==，
∵2＜＜，
∴+＞4，-＞0，∴f（）-f（）＞0，
则f（）＞f（），即函数f（x）在（2，+∞）上是减函数．;
【解析】
Ⅰ根据函数奇偶性的定义进行判断；
Ⅱ根据函数单调性的定义利用定义法进行证明．
这道题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义使用定义法是解决本题的关键．
22.【答案】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
设x＜0，则-x＞0，
所以f（-x）=（-x）2+3（-x）-1=-3x-1，
故f（x）=-+3x+1，
又f（0）=0，
所以．;
【解析】
利用函数的奇偶性，设，则，由已知的解析式求解即可．
此题主要考查了函数解析式的求解，主要考查了函数奇偶性的应用以及分段函数的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
23.【答案】解：∵f（x）=是定义在[-2，2]上的奇函数．
∴f（0）==0，
∴a=1，f（x）=，
∴f（-1）=-f（1），
，
∴b=2，
（2）由（1）可得f（x）==-，
∵，
∴，
∴-≤，
即函数的值域[-]，
（3）∵f（x）=-在[-2，2]上的奇函数且单调递减，
又x∈[-1，1]，不等式f（x）＜3-λt+1恒成立，
∴f（x）max＜3-λt+1，即＜3-λt+1，
∴3-λt+＞0，
∴△=λ2-10＜0，
∴．;
【解析】
由奇函数的性质可得，代入可得，然后结合代入可求；
结合指数函数的单调性可求函数的值域；
问题转化为，结合单调性及二次函数性质可求．
这道题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．
