2024年山东省泰安市泰山区南关中学中学九年级三月份模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1. 3的相反数是（ ）
A. B. 3 C. ﹣3 D. ±
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
详解：3的相反数是﹣3，
故选C．
点睛：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：A、a2×a3="a" 2+3=a5，故此选项错误；
B、（a+b）（a-2b）=a×a-a×2b+b×a-b×2b=a2-2ab+ab-2b2=a2-ab-2b2．故此选项错误；
C、（ab3）2=a2×（b3）2=a2b6，故此选项正确；
D、5a-2a=（5-2）a=3a，故此选项错误．
故选C．
考点：1.多项式乘多项式；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．
3. 2021年，全国参加汉语考试人数约为65000000，将6500000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据科学记数法的表示形式作答即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4. 一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
5. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A. 15米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高．
【详解】解：过点作，交于点，
在中，米，，
∴（米），
∴（米）．
∴甲楼高为（）米．
故选B．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
6. 如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的表面积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可以得到零件是一个圆锥，圆锥的高是4mm，底面直径是6mm．据此即可求得表面积．
【详解】解：根据三视图可以得到零件是一个圆锥，圆锥的高是4mm，底面直径是6mm．
则底面半径是3mm，底面积是：，
圆锥的母线长是：，
底面周长是，则侧面积是：，
则表面积是：，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图和圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
7. 如图，在等边中，，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点D的运动可知，当点D运动到点C时，用时，由此可排除D选项；当点D在上，即时，由点D的运动可知，，，，所以，由此可排除A和B选项，当点D在上，即时，经过验证，C选项正确．
【详解】解：根据题意可知，
①当点D在上，即时，
，，
根据二次函数的图象和性质，开口向上，当时，，可排除A和B选项
②当点D在上，即时，如图，
由点D的运动可知，
，
在中，，
根据二次函数的图象和性质，开口向下，当时，，可排除D选项，C选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO＝3AO交y轴正半轴于点 C．有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③x＝1时y有最大值﹣4a；④3a＋c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向得到a＜0；对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，又抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，于是可判断①错误；根据OB=3OA=3，确定点B的坐标，可得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可判断②正确；根据A（-1，0）和点B（3，0）确定抛物线的解析式，并化为顶点式，于是可判断③正确；根据a-b+c=0和b=-a可判断④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=-＞0，∴b＞0，
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
②∵A（-1，0），
∴OA=1，
∵OB=3OA，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴对称轴为：直线x==1，
即-=1，
∴2a+b=0，所以②正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（-1，0）和点B（3，0），
∴y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a，
∵a＜0，
∴x=1时，y有最大值-4a，
所以③正确；
④当x=-1时，a-b+c=0，
由②知：b=-2a，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
所以④正确．
正确结论有②③④，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，与x轴的交点及二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中考常考题型．
10. 如图，矩形的一边在轴上，顶点、分别落在双曲线、上，边交于点，连接，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，用矩形ABCD的面积减去梯形ADCE的面积即可．
详解】如图所示：过点B作BF⊥y轴于点F，
∵点B在上，
∴设点B的坐标为（a，），
∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a，
∵点A在y＝上，
∴点A的横坐标为，
∵A，B分别落在双曲线y＝、上，
∴矩形AFOD的面积为1，矩形BFOC的面积为4，
∴矩形BADC的面积为3，
∴S△ABE＝S矩形BADC﹣S梯形AECD＝3﹣（a﹣）×（+）＝＝．
故选：D．
【点睛】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
11. 已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正方形的性质及勾股定理，过点P作，，垂足为点G、H，由折叠的性质可得，四边形是正方形，利用勾股定理求得，再证明可得，设，则，，根据矩形的性质可得，又因为，即可求出，从而求得，最后利用勾股定理即可求出结果．作辅助线构造是解题的关键．
【详解】解：过点P作，，垂足为点G、H，
由折叠的性质可知，四边形是正方形，，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
设，则，，
∴，
，，
∴四边形是矩形，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后的结果填写在答题卡的相应区域内）
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，解题关键是能够综合运用提公因式和公式法．
14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
15. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
16. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______；
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式直接进行计算即可得解．
【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种，
∴摸出的小球是红球的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
17. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得水平距离，再利用坡度的知识即可求解．
【详解】解：如图，根据题意知：AB=13米，BC=5米，
∴AC=12(米)，
∴该自动扶梯的坡度，
∴该自动扶梯坡度为5：12=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡度的定义是解题的关键．
18. 如图放置的,，，…都是边长为2的等边三角形，边在y轴上点，，，…都在直线上，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，， ，(，…，，由此即可求解．
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，且边在y轴上，
∴，，
∵在直线上，
∴将代入，得，
解得：，
∴．
又∵，且轴，
∴．
同理，
∴将代入，得，
解得：，
∴．
∴．
同理可求：，，…，，
∴点的坐标为，
故答案：．
【点睛】本题考查一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律，理解题意结合一次函数的图象与正三角形的特点通过计算得出点的坐标，得到点的坐标规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，共计78分）
19. （1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）4；（2）解集为，整数解为0，1
【解析】
【分析】（1）原式利用平方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解．
【详解】解：（1）原式＝
；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0，1．
【点睛】此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形圆心角的度数为 ．
（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
【答案】（1）
（2）见解析 （3） （4）2240
【解析】
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体等知识，准确提取数据进行计算是解题的关键．
（1）用因琐事的数量除以对应的百分比即可得到答案；
（2）求出满足欲望的事件和其他的事件数量，补全条形统计图即可；
（3）利用“因琐事”的百分比乘以即可得到答案；
（4）用事件总数乘以“因琐事”和因“发泄情绪”的百分比之和，即可得到答案．
【小问1详解】
解：
故答案为：
【小问2详解】
满足欲望的事件数为：，其他的事件数为：，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：
故答案为：
【小问4详解】
（例），
答：估计所有2800例欺凌事件中有事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的．
21. 麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【答案】（1）一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷
（2）至少要安排7台A型收割机
【解析】
【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，然后根据一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可；
（2）设每天要安排y台A型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．
根据题意，得，
解得
经检验：是所列分式方程的根
∴（公顷）．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
【小问2详解】
解：设每天要安排y台A型收割机，
根据题意，得，
解得，
答：至少要安排7台A型收割机．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【解析】
【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接EF，
∵∠BAC=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt△AEF中，AF=6，
根据勾股定理得， ，
由（1）知OE∥BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8．
【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，能判断出EF∥BC是解本题的关键．
24. 在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．
（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；
（2）求证：BE＝AG+CE．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据△ABE为等边三角形，就可以求出△ABE在边AE上的高，因此就可以计算出S△ABF；
（2）首先作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J，再证明△ABF≌△EBC（SAS），同时证明△FHA≌△CJE（AAS），从而证明Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），因此可以得到EF＝AG，进而证明BE＝AE＝AF+EF．
【详解】（1）解：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAF＝60°，AB＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∴AE＝AB＝6，
∵AF＝3，
∴AF＝EF，
∴S△ABF＝S△ABE＝ 62＝．
（2）作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J．
∵△ABE，△FBC都是等边三角形，
∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，
∴∠ABF＝∠EBC，
∴△ABF≌△EBC（SAS），
∴AF＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠CEJ＝∠FAH，
∵∠FHA＝∠J＝90°，
∴△FHA≌△CJE（AAS），
∴FH＝CJ，AH＝EJ，
∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，
∴Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），
∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，
∴EF＝AG，
∵BE＝AE＝AF+EF，
∴BE＝RC+AG．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，利用角角边，边角边，HL的判定定理来判定三角形全等，关键点在于作辅助线构造直角三角形．
25. 抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，已知点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；；
（3）存在；或（0，3）
【解析】
【分析】（1）因为已知抛物线的顶点坐标，所以将抛物线设为顶点式，将B坐标代入求解即可；
（2）过点M作轴交直线BC于点，过点A作轴交直线BC于点，先证△∽△得到对应边的比值相等，设M(m,)，通过相似三角形的性质得到间的比，然后根据抛物线的性质即可求出最值，进而求得M坐标；
（3）取线段BQ的中点G，再将QG绕点Q旋转90°得到，则tan∠MBQ=，直线与抛物线的交点即为点M，然后分类讨论，分为将QG绕点Q顺时针旋转90°，将QG绕点Q逆时针旋转90°，通过联立方程组的方法即可求得M的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线过顶点(1,4)，
所以可以设抛物线解析式为：，
将B(3,0)代入得，，
∴抛物线的解析式为：，
即：；
【小问2详解】
如图，过点M作轴交直线BC于点，过点A作轴交直线BC于点，
∵直线BC过点C(0,3) ，
∴设直线BC的表达式为：，
将B(3,0)代入，
得k=-1，
∴：，
，
，
∴△∽△，
∴=，
设M(m,)，则（m,），
∴=-()=，
令，解得，
∴A(-1,0)，
∵：， 令，解得，
∴(-1,4)，
∴，
∴==，
∵＜0，
当m==时，最大，
把m=代入得，==，
把m=代入M(m,)，
解得M点坐标为（，）；
【小问3详解】
取线段BQ的中点G，再将QG绕点Q旋转90°得到，
则tan∠MBQ=，直线与抛物线的交点即为点M，
①将QG绕点Q顺时针旋转90°，得到，
分别过点、点B作x轴垂线，与过Q点的水平线分别交于点N、Z，
∵QG绕点Q旋转90°得到，
，
轴，
，
，
，
∴△∽△ZBQ，
∵G是QB的中点，，
∴，
∴，，
，
∴，
设lBG′：，将B(3,0)，代入，
得，解得，
∴lBG′：，
由，
解得：或（舍去），
∴M(,)；
②如图，将线段QG绕点Q逆时针旋转90°得到QG″，
连接G″B并延长交抛物线于点M，过G″作x轴平行线交y轴于点L，
∵旋转90°，∴，
，
，
又∵，
∴△LQG″∽△OBQ，且相似比为，
∴LG″，，
，
∴G″，
又∵B(3,0)，
设:，
将G″，B(3,0)代入，
得，解得，
∴:，
由 ，
解得：或（舍去），
∴M(0,3)，
综上所述，点M的坐标为（，）或（0，3）．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，角的存在性问题等，解决问题的关键是做横平竖直线，将“斜线段”转化为“垂线段”，利用函数思想解决最题．2024年山东省泰安市泰山区南关中学中学九年级三月份模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1. 3的相反数是（ ）
A. B. 3 C. ﹣3 D. ±
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2021年，全国参加汉语考试人数约为65000000，将6500000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A. 15米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的表面积（单位：）是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，在等边中，，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A 15 B. 30 C. 45 D. 60
9. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO＝3AO交y轴正半轴于点 C．有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③x＝1时y有最大值﹣4a；④3a＋c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，矩形的一边在轴上，顶点、分别落在双曲线、上，边交于点，连接，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
12. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后的结果填写在答题卡的相应区域内）
13. 因式分解：______．
14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
15. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
16. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______；
17. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度______．
18. 如图放置的,，，…都是边长为2的等边三角形，边在y轴上点，，，…都在直线上，则点的坐标是______．
三．解答题（共7小题，共计78分）
19. （1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
20. 为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 ．
（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
21. 麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O切线；
（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
24. 在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．
（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；
（2）求证：BE＝AG+CE．
25. 抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，已知点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
