2023-2024学年江苏省无锡市新吴区湖滨中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.六边形的内角和是( )
A. B. C. D.
2.若三角形的三边长分别为、、，则的值可以是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，下列条件中，能判定直线的是( )
A.
B.
C.
D.
5.若，，则，的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
6.如图，在中，，点在直线上，点在直线上，且直线，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点、，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
8.如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为，则的面积为______．
9.已知，，则 ______．
10.将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，当 ______时，的边与的某一边平行．
三、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分
计算：
；
．
12.本小题分
分解因式：
；
．
13.本小题分
先化简再求值：，其中，．
14.本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图．
经过平移后得到；图中标出了点的对应点，画出；
画出的高；
在网格中找一个格点，使．
15.本小题分
如图，已知，．
求证：；
若平分，交延长线于点，且，求的度数．
16.本小题分
数学课上，张老师准备了图中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形．
选取张型卡片，张型卡片，则应选取______张型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为______用含，的代数式表示；
选取张型卡片，按图的方式拼图，则中间正方形作为第四种型卡片，由此可验证的等量关系为______．
现有，，型号卡片各张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为______；
选取张图中的型卡片，张型卡片，不重叠的放在长方形内如图，当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分均为长方形的面积差始终为定值，探索与的关系，并说明理由．
17.本小题分
对于任意有理数、，规定新运算，例如，因为，所以．
计算：；
若，求的值；
记，，判断，的大小关系，并说明理由．
18.本小题分
如图，中，，，是边上一动点，连接，将沿翻折后得到，射线与射线相交于点．
若是直角三角形，求的度数；
若中有两个角相等，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选C．
根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
的值可以是．
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可选择答案．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出的取值范围是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：、和不是直线、和截线构成的内错角，不能判定直线，故A不符合题意；
B、和不是同位角，也不是内错角，不能判定直线，故B不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定直线，故C符合题意；
D、和是同位角，能判定直线，不一定判定，故D不符合题意．
故选：．
由平行线的判定方法，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5.【答案】
【解析】解：，，
又，
，
故选：．
逆用幂的乘方法则将、分别变形为，，然后比较底数即可得出结果．
本题考查了幂的乘方，有理数的大小比较，将、变为指数相同，底数不同的数进行比较是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由，得到，由三角形外角的性质得到．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
7.【答案】
【解析】解：、是的三等分线，、是的三等分线，
，，
，
在中，，
，
．
故选：．
根据三等分线可得，，依据三角形内角和定理可得，解出即可确定选项正误．
本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是关键．
8.【答案】
【解析】解：点是的中点，
，，
的面积为，
，
设，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即的面积为，
故答案为：．
根据三角形中线的性质得出，，设，用含的代数式表示、、的面积，从而列出，求解即可．
本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同底等底同高等高的两个三角形的面积相等，同高或等高的两个三角形的面积之比等于底边的比．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，，，
．
故答案为：．
根据已知可得，根据非负数性质得到，，代入所求代数式计算即可．
本题考查了幂的乘方及积的乘方，熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．
10.【答案】或或
【解析】解：，
是等边三角形，
．
，
．
当旋转后的边与平行时，如图所示，
令与的交点为，
由旋转可知，
．
，
，
，
，
即．
当旋转后的边与平行时，如图所示，
，
，
，
即．
当旋转后的边与平行时，如图所示，
，
，
，
即．
综上所述，或或．
故答案为：或或．
根据所给旋转方式，画出示意图，再结合平行线的性质即可解决问题．
本题考查旋转的性质及平行线的判定与性质，熟知图象旋转的性质及平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】解：
；
．
【解析】根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方分别计算即可；
根据多项式乘多项式、同底数幂的除法法则计算即可．
本题考查了实数的运算，整式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方、多项式乘多项式、同底数幂的除法法则是解题的关键．
12.【答案】解：
；
．
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式；
先提取公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法等知识点是解决本题的关键．
13.【答案】解：
，
当，时，原式．
【解析】先根据单项式除以单项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
14.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
如图，过点作的平行线，与格点交于点，，
则，，
即点，均满足题意．
【解析】根据平移的性质作图即可．
根据三角形的高的定义画图即可．
结合平行线的判定与性质画图即可．
本题考查作图平移变换、三角形的高、平行线的判定与性质，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义、平行线的判定与性质是解答本题的关键．
15.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
平分，
，
．
【解析】先根据得出，再与等量代换得到，即可证得；
先根据三角形的外角性质得，再由得，再由平分得，最后根据三角形的内角和计算即可．
本题考查的是平行线的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和等相关知识，熟记平行线的性质与判定是解题的关键．
16.【答案】 ； ，
【解析】解：；
张型卡片，张型卡片，则应选取张型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为，
故答案为：，；
根据题意可知：
，
故答案为：；
张型卡片的面积为，张型卡片的面积为，张型卡片的面积为，因此这张卡片的面积为，
而，，
因此可以拼成一个边长为的正方形，而卡片一共只有，
，，
至少选张型卡片，要使最大，则张型卡全用上，
，，
因此的值为，
故答案为：；
设，根据题意，得
，
设，根据题意，得
，
，
根据，
，
，
，
，
．
，
或，
与的关系为．
根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算；
根据正方形的性质即可解决问题；
利用正方形的面积即可解决问题；
设，根据题意可得，，根据，列出等式，整理后得，，进而可以解决问题．．
本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
17.【答案】解：由题意得：
；
分两种情况：
当，即时，
，
，
解得：；
当，即时，
，
，
解得：，
综上所述：的值为或；
，
理由：，，
；
，
，
．
【解析】按照定义的新运算进行计算，即可解答；
分两种情况：当；当；然后分别进行计算即可解答；
利用作差法进行计算，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解一元一次方程，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：是直角三角形，有两种情况：
，如图，
将沿翻折后得到，
，，
，
，
，
；
，如图，
，
，
，
将沿翻折后得到，
；
综上，的度数为或；
中有两个角相等，有四种情况：
若，
，
，
这与矛盾，
此种情况不存在；
若，点为线段与线段的交点，如图，
将沿翻折后得到，
，，
，
，
，
；
若，点为的延长线与的延长线的交点，如图，
将沿翻折后得到，
，，
，
，
，
；
若，如图，
将沿翻折后得到，
，，
，
，
，
；
综上，的度数为或或；
【解析】分和两种情况画出图形，利用翻折性质和三角形内角和定理及其推论即可解决问题；
分，，点为线段与线段的交点，，点为的延长线与的延长线的交点，，这四种情况画出图形，利用翻折性质和三角形内角和定理及其推论即可解决问题；
本题考查翻折的性质，三角形内角和定理和推论，直角三角形的性质，四边形内角和，能分情况画出图形求解是解题的关键．
第1页，共1页
