湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高考数学三模试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为平面外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在直线，使得， B．存在直线，使得，
C．存在直线，使得， D．存在直线，使得，
4．在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ）
A．600 B．800 C．1200 D．1400
5．已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则( )
A． B． C． D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和在区间上都是单调递增的，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正六棱锥的高为，侧面与底面所成角的正切值为4，则该正六棱锥的内接正六棱柱（即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上）的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3
B．，
C．函数在上没有零点
D．函数的极值点有2个
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（ ）
A．为定值
B．
C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．不存在直线使
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数是 .
13．已知 ， ，则 .
14．已知函数，关于函数有如下四个命题：
①在上单调递减；②；
③的值域为；④的图象关于直线对称
其中所有真命题的序号是
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
16．某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.
（1）求和的值；
（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
17．已知数列满足，，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，证明：当时，．
18．如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.
（1）证明：；
（2）若且的面积为，求三棱锥的体积.
19．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点，是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，证明：直线的经过定点，并求出定点坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,B
10．【答案】A,C
11．【答案】B,D
12．【答案】40
13．【答案】
14．【答案】②③④
15．【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
16．【答案】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人，
所以其频率为.又因为组距为0.5，所以.
又因为，所以，
即，.
（2）因为屏幕需求尺寸为人数为：，
屏幕需求尺寸为人数为，
若要用分层抽样的方法抽取6人
所以要在组中抽2人，设为，；要在组中抽4人，设，，，，
因此样本空间
，，，，，，
，，，，共15个基本事件，
而这2人来自同一分组为事件，
，共7个基本事件，
所以这2人来自同一分组的概率.
17．【答案】（1）解：因为，，
所以，所以，
因为，
所以是等比数列，首项，公比，所以
（2）解：由可得，
先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以；
再证明右边：，
因为，
，
，下面证明，
即证，即证，
设，则，
设，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，
所以，所以，
综上，．
18．【答案】（1），，，
由余弦定理得，解得，
所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，所以；
（2）在中，，，，
所以，，所以，
因为，又，
解得，则，所以
19．【答案】（1）由题意，知，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
联立，得，
由韦达定理得，所以，
因为
所以，即，所以直线的方程为，
即，由，得，故直线恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，则，
所以，解得，
所以此时直线也过点
