河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A）
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C A A A D D B BC BC ACD
12．
13．
14.16
15．(1)；(2)18
（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
注意到，则，可得，
且，则，
可得，
则，
又因为，则，可知，
可得，，
所以.
（2）由（1）可得：，
因为，在中，可得，，
又因为，可得，
则，
在中，由余弦定理，
即，解得，可知，
所以的面积.
16．（1）；（2）证明见解析.
（1）由题意，函数，可得，
因为有两个极值点，
即方程在有两个不同的解，
即与的图象的交点有两个.
由，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，有极大值.
又因为时，；时，，
当时，即时有两个解，所以
（2）由函数
可得，则，所以在单调递增，
若时，
当时，.在上单调递减；
当时，.在上单调递增；
所以在处取得极小值
若，令，则；
令，则
所以在，有唯一解；
若，令，则，
令，则，所以在，有唯一解；
所以在有唯一解，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，
令，则，
由，可得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即的极小值不大于1.
17．(1)证明见详解；(2)或
（1）由题意可知：，，平面，
可得平面，
且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设，
则，
若，则，，
由题意可知：平面的法向量，
因为，且平面，
所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理得，解得或，
所以或，即线段BF的长为或.
18．(1)；(2)；(3)证明见解析
（1）设“甲在第i轮活动中猜对成语”，“乙在第i轮活动中猜对成语”，
“甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，，
则
故
（2）由题意知，1，2，
由（1）知，
，
故X的信息熵
（3）第二轮甲猜对的概率为，
第二轮乙猜对的概率为，
所以，，
每一轮甲乙都猜错的概率为，
因此，
则①
所以，②
①②得，
所以.
关键点点睛：根据全概率公式公式得，，由期望公式可得的表达式，将其转化为数列求和，利用错位相减求数列的和是本题的关键所在.
19．(1)；(2)证明见解析；(3)存在点.
（1）由题意，得解得所以椭圆的方程为．
（2）
证明：设．
又，所以可设直线的方程为．
联立椭圆方程与直线的方程，得
消去，得．
又，所以，可得．
由根与系数的关系，得，则，
所以，同理，得．
从而直线的斜率．
又，
所以，即，为定值．
（3）由（2）可得直线的方程为．
由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上，
所以令，得．
故直线恒过定点，且点的坐标为．
因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动．
故存在点，使．河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A）
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.
1.集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2.已知，则
A.0 B. C. D.1
3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是
①若，且，则
③若，且，则
②若且，则
④若，且，则
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
5.函数在区间的图象大致为
A.
C.
B.
D.
6.已知等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则
A. B. C. D.
7.设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
8.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论中，正确的有
A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5
B.若随机变量，则
C.已知经验回归方程为，且，则
D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是
A.
B.
C.
D.
11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是
A.当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面
B.当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为
C.点E到直线的距离的最小值为
D.当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为 .
13.已知动点在圆上，动点Q在曲线上.若对任意的，恒成立，则的最大值是 .
14.在中，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求的值；
(2)如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积.
16.设函数，（e为自然对数的底数）
（1）若函数有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1.
17.如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长.
18.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H；
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：.
19.已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为.直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为.
(1)求椭圆的方程.
(2)记直线的斜率为，证明：为定值.
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
