2024-2025学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+ D．s＝2t2﹣2t+1
2．已知二次函数，那么这个二次函数的图象有( )
A．最高点 B．最低点
C．最高点 D．最低点
3．若二次函数经过原点，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法确定
4．关于二次函数，以下说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，
5．已知抛物线上的三点， ， ， 若总有 成立， 则的值分别可以是（ ）
A．1，2，3 B．，0，2024
C． D．
6．将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
7．若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，是抛物线在第三象限上的一点，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，则四边形的周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
9．若是关于的二次函数，则的值为 ．
10．函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
11．把二次函数用配方法化成的形式是 ．
12．已知二次函数，当时，；当时，；则 ， ，故该二次函数的关系式为 ．当时，二次函数的值为 ．
13．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是 ．
14．二次函数的图像如图所示，若．则的大小关系为 ．（填“”、“”或“”）
15．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线沿轴平移得到新抛物线，如果“平衡点”为，那么新抛物线的表达式为 ．
16．二次函数的图象如图所示，下列四个结论：
①；
②；
③；
④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4．
其中正确结论是 ．（填写序号）
三、解答题
17．证明无论a取任何实数，抛物线的顶点都在一条定直线上．
18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？
（3）点在这个二次函数的图象上吗？
19．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求花圃面积的最大值．
20．抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．
（1）求b、c的值；
（2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标；
（3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标 ；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为 （用含m、n的式子表示）．
21．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值．
22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．、解：在二次函数，中，，
∴这个二次函数的图象有最高点
故选：．
3．解：二次函数的解析式为：，
∴，
，
二次函数的图象经过原点，
，
或，
∵，
．
故选：B．
4．解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A、对称轴是直线，故该选项正确，不符合题意；
B、顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C、当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D、当时，，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
5．解：抛物线开口向上，对称轴为，
抛物线上的点到对称轴距离越近，函数值越小，
A、当时，
， ， 三点到对称轴的距离为当，
若取，则，
即总有不成立，不符合题意；
B、当时，
， ， 三点到对称轴的距离为当，
若取，则，
即总有不成立，不符合题意；
C、当时，
， ， 三点到对称轴的距离为当，
即总有不成立，不符合题意；
D、当时，
， ， 三点到对称轴的距离为当，
，即总有成立，符合题意；
故选：D．
6．解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是：
．
故选：D．
7．解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故，
所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意．
故选：B．
8．解：令，则，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
设，，则，，
令四边形的周长为，则，
，
时，取最大值，为6．
故选：D．
9．解：由题意可知 m2-2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
10．解：函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
故答案为：；
11．解：，
即：，
故答案为：．
12．解：将，分别代入，得
解得，
∴该二次函数的关系式为．
当时，．
故答案为：，，，．
13．解：由图像可知，抛物线经过原点，
所以，解得，
图像开口向下，，
．
故答案为：．
14．解：当时，
当时，
即：．故答案为：．
15．解：设平移后新抛物线的表达式为，
∵“平衡点”为，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴新抛物线的表达式为，
故答案为：．
16．解：：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，
所以①错误；
根据抛物线在时，，即，
∵，，
∴，即，
故②正确．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，y有最大值，
∴，
∴，
故③正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．
故④正确 ，故答案为：②③④．
17．证明：设抛物线的顶点坐标为
抛物线的顶点坐标为
即
因此，抛物线的顶点都在一条固定的直线上．
18．解：(1)设抛物线解析式为，
把(0，4)代入得，
解得：，
所以这个二次函数解析式为；
(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
所以当时，y的值随值的增大而增大；
(3)当时，，
所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．
19．解：（1）由题意得：米，且
即
解得
故与的函数关系式为，自变量的取值范围为；
（2）由（1）知，
由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小
则当时，S取最大值，最大值为（平方米）
故花圃面积的最大值为45平方米．
20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上，
∴顶点为（2，0），
∴抛物线为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
∴b＝4，c＝﹣4；
（2）画出抛物线的简图如图：
点C的坐标为（0，﹣4）；
（3）∵C（0，﹣4），
∴点C关于直线x＝2对称点D的坐标为（4，﹣4）；
若E（m，n）为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（4﹣m，n），
故答案为（4，﹣4），（4﹣m，n）．
21．（1）解：将，代入，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点D作轴于点F，交于点E，令，得，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，
得，解得，
∴直线的表达式为，
设，则，
∴，
∴
，
∴当时，最大，最大面积为．
22．（1）解：将、代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）令，
解得：或，即、，
抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，，
当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：，
故的取值范围为；
（3）存在
到轴的距离为，由图象可知，
则点在轴下方，点到轴的距离为，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或．
∵关于x轴对称
∴与全等，
∵关于抛物线的对称轴对称
∴与全等
