银川一中2023/2024学年度(下)高二暑假自主复习练习卷（一）
数 学 试 卷
参考答案
单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1． 【答案】C
【详解】函数值域为，函数定义域为，
即，，所以有.
2．【答案】B
【详解】“在上单调递增”当且仅当，即当且仅当，
换言之，“在上单调递增”的充要条件是.
3．【答案】D
【详解】由分布列，得随机变量的期望，
则，
由，得当时，取得最大值，无最小值.
4．【答案】B
【详解】当时，，所以，
当时，令，即，所以，
所以.
5.【答案】C
【详解】由函数可得函数的定义域为，
由可知函数为奇函数，
其图象关于坐标原点对称，故舍去A，B，两项；
又由，可得D项不合题意，故C项正确.
6．【答案】A
【详解】因为的定义域为，且，令，解得，
则，可得点，且点到直线的距离，
所以点P到直线的距离的最小值是.
7．【答案】D
【详解】由题意可得，一个小球从图中阴影小正方体出发，可以向上，向下或水平移动，
设小球向上移动为事件，小球水平移动为事件，小球向下移动为事件，
小球回到阴影为事件，则，
则.
8.【答案】C
【详解】由题，.令（），则，
因为，所以，所在上单调递增，
又，，，，故.
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．【答案】AB
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以，，
令，，则，
可知为增函数，当时，有最小值，
故实数m的取值范围为，
10．【答案】AD
【详解】，当时，，系数为，故A正确；
由组合数性质可知，中间项系数最大，
展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误；
令，得展开式中各项系数之和为，故C错误；
当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，当或时，系数最大，正确.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，若，且，只能，有，
则，，所以，故A正确；
对于B，举反例：当时，则，，
此时，故B不正确；
对于C，易知，且．若，且，则有：
（ⅰ）当时，有，则，，
且，所以；
（ⅱ）当时，，且，则．
综上所述：，故C正确；
对于D，若，则．若，且，分类讨论．
（ⅰ）当时，有，
从而，，
则；
（ⅱ）当时，则，，
因为，则，从而．
综合所述：，故D正确．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．【答案】
【详解】由题知，解得，所以函数的定义域为，
13．【答案】
【详解】从11所学校中任选3所学校共有种选法.
其中排名为第一名或第五名的学校，可以分为三种情况：
第一类：只含有排名为第一名的学校的有种选法；
第二类：只含有排名为第五名的学校的有种选法；
第三类：同时含有第一名和第五名学校的有种选法；
共种选法.根据概率公式可得.
14. 【答案】8
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为.
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【答案】(1)(2)
【详解】（1）解不等式，解得. 即，
由于p是q的必要非充分条件，则是A的真子集，
所以，且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是.
（2）因为，可知在内有解，则 ，
令，则，可得，所以实数a的取值范围为.
16． 【答案】(1)列联表见解析，成绩优秀与上课转笔有关;(2)分布列见解析，；(3).
【详解】（1）零假设：成绩优秀与上课转笔无关，
列联表如下：
上课转笔 上课不转笔 合计
优秀 5 25 30
合格 50 20 70
合计 55 45 100
，
根据小概率值独立性检验，我们推断不成立，因此认为成绩优秀与上课转笔有关．
（2）100个人中优秀的人数为，
则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格；
由题意的可能值为2,3,4,5,
,,,,
则X的分布列为:
X 2 3 4 5
P
所以.
（3）由题意可知，则，,
解得.又,所以，则当时，取最大值．
17． 【答案】(1)(2)
【详解】（1）由，得，
令，得，解得．所以的单调递增区间为
（2）令，解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示：
0 2
0 0
单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数有且仅有三个零点，得方程有且仅有三个不等的实数根，
所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，故．
18． 【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；（ii）
【详解】（1）甲选手得分X的取值可为0，1，2，3，
，．
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
X的数学期望是．
（2）（i）X的分布函数为；
（ii）设随机变量Y的分布函数为， 若，此时；
若，由题意设，
当时，有，又因为，
所以，即，所以；
若，此时， 综上所述，．
19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【详解】（1）由题意，.因为，所以，所以.
因为，且，所以.
因为，且，所以.所以.
（2）因为，
所以.
记，则，
因为，所以，所以在单调递减.
所以，所以.
（3）由（2）得，当时，.
所以，当时，.
又因为，所以.
所以，当时，，
，，
，
以上各式两边相加，得
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数 学 试 卷
单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时，（ ）
0 1 2
A．有最大值也有最小值 B．无最大值也无最小值
C．无最大值但有最小值 D．有最大值但无最小值
4．在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：）
A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后
5．函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
6．点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
10．已知二项式，则（ ）
A．展开式中的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第5项
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项
11．已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．函数定义域为
13．成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为
14． 已知函数，若，，且，则的最小值是
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知集合.
(1)命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)函数的定义域为C，若，求实数a的取值范围.
16．（15分）*在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
上课转笔 上课不转笔 合计
优秀
合格 20
合计 55 100
(1)请完成下列列联表．并依据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；（结果均保留到小数点后三位）
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望；
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为，当取最大值时，求k的值．
附：，其中．
17．（15分）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
18．（17分）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．
(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．
19．（17分）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：.
注：.
已知函数在处的阶帕德近似.
(1)求的表达式；
(2)记，当时，证明不等式；
(3)当，且时，证明不等式.
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