2024年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上表示实数的点可能是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
2.据统计，“五一”期间，长春市接待游客人次，占全省的这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.已知，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图是由个相同的小正方体组合而成的立体图形，其中的个小正方体标注了数字，若移走个小正方体后，该立体图形的左视图发生改变，则移走的小正方体上标注的数字为( )
A.
B.
C.
D.
6.综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字指针指向边界时不计录结果，重新转动一次其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是( )
A. 指针指向的数字能被整除 B. 指针指向的数字是偶数
C. 指针指向的数字比大 D. 指针指向的数字能被整除
7.某小区门口安装了汽车出入道闸道闸关闭时，如图，四边形为矩形，长为米，长为米，点与点重合道闸打开的过程中，如图，边固定，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，则点到的距离的长为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，连结、，过点作轴于点，交于点若，的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： ______．
10.若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为______．
11.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是______．
12.如图，物理实验课上，老师将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线、交于点，与主光轴分别交于点、，由此发现凸透镜的焦点略有偏差若，，则的大小为______
13.如图，正八边形和正六边形的边长均为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______结果保留
14.野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分通过对某只野兔一次跳跃中水平距离单位：与竖直高度单位：进行的测量，得到以下数据：
水平距离
竖直高度
给出下面四个结论：
野兔本次跳跃到最大高度时，距离起跳点；
野兔本次跳跃的最大高度为；
野兔本次跳跃的最远水平距离为；
若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能跃过篱笆．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字、、，每个小球除数字不同外其余均相同小林和小春玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局小林从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小春再从口袋中摸出一个小球用画树状图或列表的方法，求小春获胜的概率．
17.本小题分
快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送件和揽件数量某快递公司的快递员小李送件件和揽件件，提成为元；送件件和揽件件，提成为元求快递员小李送件货物和揽件货物的提成分别为多少元？
18.本小题分
如图，，，于点，于点，且，分别延长和交于点．
求证：四边形是菱形．
若，则的值为______．
19.本小题分
为了增强学生的英语听说能力，某校九年级开展了两次英语听力测试，每次测试成绩满分均为分，从中随机抽取名学生两次测试的成绩，整理如下：
甲同学第一次测试成绩是分，第二次测试成绩是分，在图中用“”圈出代表甲同学的测试成绩的点．
在抽取的名学生中，
第二次测试成绩高于分的学生有______人
第一次测试成绩高于第二次测试成绩的学生有______人
若两次测试的平均成绩不低于分为优秀，利用样本估计该校九年级名学生中有多少名学生的两次测试成绩的平均成绩为优秀．
20.本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，按要求完成下列问题．
线段的长为______．
只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图中，作的角平分线．
在图中，作内切圆与的切点．
21.本小题分
一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线以每小时的速度匀速驶向地，货车到达地装卸货物，然后立即按原路匀速返回地巡逻车、货车各自距地的路程与货车出发时间之间的函数图象如图所示．
______， ______．
求货车返回过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
当两车相距时，直接写出货车行驶的时间．
22.本小题分
【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，的半径为，点是外的一个定点，点在上，作点关于点的对称点，连结、当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图，延长至点，使，连结、，通过证明≌，可推出点的运动路径是以点为圆心、为半径的圆下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连结、．
当点在直线外时，
证明过程缺失
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图，在矩形中，点、分别为边、的中点，连结，点是中点，点是线段上的任意一点，，点是平面内一点，，连结作点关于点的对称点，连结、．
当点是线段中点时，点的运动路径长为______．
当点在线段上运动时，连结设线段长度的最大值为，最小值为，则 ______．
23.本小题分
如图，在中，，，点在边上，且，过点作，交于点，动点从点出发，沿折线向终点运动作，交边于点，连结．
线段的长为______．
如图，当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由．
当与的一边平行时，求线段的长．
当点在边上运动时，作点关于直线的对称点，连结、当的边将四边形的面积分为：两部分时，直接写出线段的长．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数经过点点在抛物线上，且横坐标为，点的坐标为，连结、．
求该抛物线对应的函数表达式．
连结，当轴时，求的值．
以线段、为邻边构造 ，
边的长的最小值为______，此时 的面积为______．
当，且抛物线在 的内部不含 的边界的部分的值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.同位角相等，两直线平行．
12.
13.
14.
15.解：原式
；
当时，原式．
16.解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中小春获胜的结果有：，，，共种，
小春获胜的概率为．
17.解：设快递员小李送件货物提成为元，揽件货物的提成为元，
根据题意得：，
解得：；
答：快递员小李送件货物提成为元，揽件货物的提成为元．
18.证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
平行四边形是菱形；
．
19.如图所示：
，；
在抽取的名学生中，两次测试的平均成绩不低于分有人，
名，
答：估计该校九年级名学生中有名学生的两次测试成绩的平均成绩为优秀．
20.；
如图中，线段即为所求；
如图中，点即为所求．
21.；；
设货车返回过程中与之间的函数关系式为，且函数图象过，
，解得，
货车返回过程中与之间的函数关系式为；
设货车从地驶向地的过程中与之间的函数关系式为为常数，且．
将坐标代入，
得，
解得，
，
货车离地的路程与货车出发时间之间的函数关系式为；
设巡逻车离地的路程与货车出发时间之间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
巡逻车离地的路程与货车出发时间之间的函数关系式为．
当时，，解得或不符合题意，舍去；
当时，，解得不符合题意，舍去或不符合题意，舍去；
当时，，解得不符合题意，舍去或；
或．
当两车相距时，货车行驶的时间为或
22.【问题解决】证明：延长至点，使，连接、，
当点在直线外时，在和中，
≌，
；
当点在直线上时，则，
综上，点的运动路径是以点为圆心、为半径的圆；
【结论应用】；
由【问题解决】可得，点的运动路径为为半径的圆，
如图，当点与点重合时，此时点的运动路径为以为圆心，为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，
由题意得，，，，
由勾股定理得，
线段长度的最小值为；
如图，当点与点重合时，此时点的运动路径为以为圆心，为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，
由题意得，，
，
≌，
，，
，
、、在同一直线上，
，
，
线段长度的最大值为，
，
23.；
证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
为等腰直角三角形；
解：当点在上，时，如图所示，
，，
，
，
，
∽，
，
即，
解得；
当点在上，时，如图所示，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
∽，
，
即，
，
，
解得，
综上，；
解：根据可知为等腰直角三角形，，，
与关于直线对称，
，，
，
四边形为菱形，
，
四边形为正方形，
，
根据可知≌，
，
当将四边形的面积分为：两部分时，如图所示，
，：：，
：：，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，
根据可知，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
；
当将四边形的面积分为：两部分时，如图所示，
，：：，
：：，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
根据可知，
，
，
解得，
；
综上，的长为．
24.解：将代入，
，
，
；
点在抛物线上，且横坐标为，点的坐标为，
轴，
点的纵坐标为，
，
解得：或舍去．
；；
根据题意可知：，，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
点在直线上，
，
点在直线上，
当点正好在直线与抛物线的交点或在点的上方时，在平行四边形内部的抛物线，
正好都在对称轴的右侧，随的增大而增大，符合题意，如图所示：
令，
解得：或，
当点在点处时，，
解得：，
此时的取值范围是：；
把代入得：，
当点在直线与抛物线的交点上时，，
解得：或，
此时在内部的抛物线在对称轴的左侧，且当点继续向上移动时，点在直线与抛物线交
点的上方，在内部的抛物线在对称轴的左侧，随的增大而减小，符合题意；
当时，在内部的抛物线，随的增大而减小；
综上分析可知：或．
第1页，共1页
