广州科学城中学2023-2024学年高一上学期期中检测
数学科试卷
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B.
C. D.
5.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知命题：函数与轴有两个交点；恒成立.若和均为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是
A. B.
C.或 D.或
8.定义在上的函数满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
10.下列命题中，真命题的是（ ）
A.是的充分不必要条件
B.“”是“”的充要条件
C.命题“，使得”的否定是“，都有”
D.命题“”的否定是“”
11.若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）
A.0 B.1 C. D.3
12.已知，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知幂函数的图象经过点，则的值为__________.
14.已知函数，若，则__________.
15.已知函数，且，则__________.
16.记表示中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台.每批都购入台，且每批均需付运费400元.贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.
（1）求的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由.
19.（12分）已知二次函数，且，且的解集为.
（1）求的解析式.
（2）求在区间的最大值记为，并求的最大值.
20.（12分）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式.
21.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求使成立的实数的取值范围.
22.（12分）已知函数.
（1）若函数的值域为，求的取值集合；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
广州科学城中学2023-2024学年高一上学期期中检测
数学科试卷
评分标准
一 单选题，每小题5分，共8小题，40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D A C D B
二 多选题（每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，错选得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD BC AD
三 填空题（每小题5分，共计20分.）
13. 14.2或 15.1 16.或或
四 解答题
17.【详解】（1），
瘷
（2），
①若；
②若.
综上所述，
18.【详解】（1）设全年需用去的运费和保管费的总费用为元
题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批费用元
由题意知：
当时，
解得：
（2）由（1）可得：（元）
当且仅当，即时等号成立
故只需每批购入120台，可以使资金够用.
19.【详解】（1）函数的对称轴为，
二次函数，
①
又的解集为，
的两个根是；并且.
即②，③
联立①②③，解得.
函数的解析式为：.
（2）由（1）知开口向下，且对称轴为，在区间的最大值记为，
当，即时，在上是增函数，
函数的最大值为.
当时，在上是减函数，
函数的最大值为.
当，即时，
在上函数的最大值为.
综上：，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的最大值为8.
20.【详解】（1）由函数，不等式化为，
由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2，
由根与系数的关系知：，解得；
（2）时不等式，可化为
即
当时，解不等式得或；
当时，解不等式得；
当时，解不等式得或.
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或.
21.【详解】（1）根据题意，是奇函数，则有，
则有，解得；
.
，解得，
（2）在上为增函数；
证明如下：设
则，
，
，
则有，即.
在上为增函数；
（3），
又是定义在上的奇函数，，
则有，
解得，即实数的取值范围为
22.【详解】（1）函数的值域为，
，
解得或3；
（2）由题意在上的值域是在上的值域的子集
即
对于函数在上是增函数，，
函数图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，函数在上为增函数，，
，
，此时
②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
，此时；
③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
，此时；
④当时，函数在上是减函数，，
，
，此时；
综上所述，实数的取值范围是，
