广西钦州市示范性高中2024—2025学年度秋季学期开学考试
高三数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则
A． B．1 C． D．2
2．下列四个命题中，是真命题的为
A．任意，有 B．任意，有
C．存在，使 D．存在，使
3．若都为非零向量，且，，则向量的夹角为
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是
A．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变
C．有甲 乙 丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
D．若随机变量X服从正态分布，，则
5．已知A（1, 0），B（,0），动点满足，则点M的轨迹方程是
A．（） B．（）
C．（） D．（）
6．函数图象的大致形状是
A． B．
C． D．
7．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，与平面平行．EF与平面的距离为1丈，则它的体积是
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈
8．若，，则的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若函数则
A．的最小正周期为10 B．的图象关于点对称
C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称
10．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是
A．的最小值为
B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．当最小时，切线与准线的交点坐标为
11．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．
13．已知角的终边过点P（1，2），则 .
14．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高一获胜的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）D是线段上的点，且，，求的面积.
16．（15分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接AF．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．
18．（17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
19．（17分）牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为x1，称x1为r的1次近似值，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，就称为r的次近似值，称数列为牛顿数列．
（1）若的零点为r，，请用牛顿切线法求r的2次近似值；
（2）已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且．
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C D D A B B C AD ACD AD
12．
13．
14． ；
15．
【解析】（1）因为，由正弦定理得.
因为，所以，所以，………………………………………………2分
即.
因为，所以，即.………………………………………………………………4分
（2）设，因为，所以.
因为，所以，，，……………………………6分
在△ACD中，由正弦定理可知， ……………………………………………………8分
即，
即，…………………………………………………………10分
化简可得，即，,……………………………………………………12分
所以.………………………………13分
16．
【解析】（1）当时，函数，求导得，则，…………2分
而，
所以曲线在点处的切线方程为，
即. …………………………………………………………………………………………4分
（2）函数的定义域为，
求导得， ………………………………………6分
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或， …………………………………………………………………………8分
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ……………………………………10分
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ……………………………………12分
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意， …………………………………………………………………………14分
所以的取值范围为.………………………………………………………………………15分
17
【解析】（1）∵四边形为矩形，∴，
∵平面，平面，∴，………………………………………………2分
又， 平面，∴平面，
又平面，∴． ……………………………………………………………………3分
∵，点E是的中点，∴．
又， 平面，∴平面．
平面，∴． ……………………………………………………………………4分
又，,平面，∴平面，
平面，∴．…………………………………………………………………………6分
（2）
如图，因AB，AD，AP两两垂直，
故可以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，………………………………………………………8分
∴，．
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，………………10分
可看成平面的一个法向量． ……………………………12分
设平面与平面的所成角为，
∴，∴， ………………14分
∴平面与平面所成角的正弦值为．………………………………………………15分
18．
【解析】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；………………………2分
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，………………………………………………………………4分
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；…………………………………………6分
故的分布列如下：
2 3 4
故数学期望；…………………………………………8分
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，……………10分
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且………………………………12分
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； ………………………………14分
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； ……………………………………16分
时，两种赛制甲夺冠的概率一样. ………………………………………………………………17分
19．
【解析】（1）
，所以 ……………………………………2分
当，所以
当，
所以的2次近似值为. ……………………………………………………………………………4分
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根,
所以不妨设，
则，
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为 ………………………6分
令则
即，
所以.……………………………………………………………………………………8分
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以.………………………………………………………………………………………………10分
因为所以所以.
令则，又
所以，………………………………………………………………………………………………12分
数列是公比为2的等比数列.
.……………………………………………………………………………………………13分
令，则
当时，，所以在单调递减，
所以，即……………………………………………………15分
因为所以即.
. ………………………………………………………………17分
