第2课时 力的合成和分解的分析与计算(一)
[学习目标] 1.会利用作图法和计算法求合力(重点)。2.会判断和计算合力随分力夹角变化的情况(重难点)。
一、力的合成
如图所示,一个物体静止在斜面上,斜面与水平方向的夹角为37°,物体所受斜面的支持力和摩擦力分别为4 N、3 N,你能求出斜面对物体的作用力(支持力和摩擦力的合力)的大小吗
答案
方法一 如图所示,先作出支持力和摩擦力的图示,根据平行四边形定则,作出力F的图示,由图可知,斜面对物体的支持力与摩擦力的合力大小为5 N。
方法二 先作出支持力和摩擦力的示意图,根据平行四边形定则作出合力,由于FN与Ff间的夹角为90°,根据勾股定理可得,F= N=5 N。
合力的求解方法
(1)作图法
①基本思路:
②如图所示:用作图法求F1、F2的合力F。
(2)计算法
两分力不共线时,可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图,然后由几何知识求解。
例1 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥,如图所示。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹,塔的两侧32对钢索连接主梁,呈扇面展开,如巨型琴弦,正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°,每根钢索中的拉力都是3×104 N,那么这对钢索对塔柱形成的合力有多大 方向如何
答案 5.2×104 N,方向竖直向下
解析 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力,以它们为邻边画出一个平行四边形,其对角线就表示它们的合力。由对称性可知,合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小。
方法一 作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和OB,它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N,则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度,所以合力的大小为F=5.2×1×104 N=5.2×104 N。
方法二 计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个菱形的特点,如图乙所示,连接AB,交OC于D,则AB与OC互相垂直平分,即AB垂直于OC,且AD=DB、OD=OC。对于直角三角形AOD,∠AOD=30°,而OD=OC,则有F=2F1cos 30°=2×3×104× N≈5.2×104 N。
拓展1 假如斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是60°,如图所示,求这对钢索对塔柱形成的合力。
答案
3×104 N,方向竖直向下
解析 如图所示,由几何关系知F=3×104 N,方向竖直向下。
拓展2 如图所示,一竖直立柱在水平绳OA和斜拉绳OB的拉力作用下处于静止状态。已知水平拉力FA=1 000 N,OB与竖直方向的夹角θ=30°,求两绳拉力的合力及OB绳上拉力的大小。
答案 1 000 N 2 000 N
解析
由sin 30°=
得FB=2FA=2 000 N
tan 30°=
得F合==1 000 N。
求合力的几种特殊情况:
类型 作图 合力的计算
两分力 相互垂 直 大小:F= 方向:tan θ=
两分力 等大,夹 角为θ 大小:F=2F1cos 方向:F与F1夹角为(当θ=120°时,F1、F2、F的关系为F=F1=F2)
合力与 其中一 个分力 垂直 大小:F= 方向:sin θ=
二、合力与分力的关系
两个大小相等的共点力F1、F2,都为20 N,则当它们间的夹角分别为0、60°、120°、180°时:
(1)请利用几何知识分别计算出合力F的大小,填入下表。
F1、F2的夹角 0 60° 90° 120° 180°
合力F/N 20
(2)当两分力大小一定时,随着夹角的增大,合力大小如何变化
(3)通过以上计算可知,合力一定大于分力吗
答案 (1)40 20 20 0
(2)两分力大小一定时,随夹角增大,合力大小变小
(3)不一定
合力与分力的大小关系
两分力大小不变时,合力F随两分力夹角θ的增大而减小,随θ的减小而增大。(0≤θ≤180°)
(1)两分力同向(θ=0)时,合力最大,F=F1+F2,合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ=180°)时,合力最小,F=|F1-F2|,合力的方向与较大的一个分力的方向相同。
(3)合力的取值范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
如图所示,已知两分力F1和F2,夹角为0~180°之间(非0、非180°),利用平行四边形定则,证明|F1-F2|
F合为所求合力,平移矢量F2,合力、分力在同一个三角形中,由三角形三边关系知,|F1-F2|
平行四边形的一半是三角形,在求合力的时候,只要把表示原来两个力的矢量首尾相接,然后从第一个力的箭尾向第二个力的箭头画一个矢量(如图所示),这个矢量就表示原来两个力的合力。
例2 (多选)(2024·凉山州高一期末)下列关于两个分力F1、F2与它们的合力F的关系说法正确的是 ( )
A.合力F至少大于其中一个分力
B.合力F可能比这两个分力F1、F2都小
C.合力F一定比两个分力F1、F2都大
D.两个大小不变的分力F1、F2的夹角在0到180°之间变化时,夹角越小,合力越大
答案 BD
解析 两个力的合力范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以合力F可能大于任何一个分力,可能等于任何一个分力,还可能小于任何一个分力,A、C错误,B正确;两个大小不变的分力F1、F2的夹角在0到180°之间变化时,夹角越小,合力越大,D正确。
例3 (2024·北京师大附中高一期中)有两个大小分别为3 N和5 N的共点力,它们合力的大小可能是 ( )
A.0 B.10 N C.12 N D.4 N
答案 D
解析 合力大小的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以3 N和5 N的力的合力大小范围为2 N≤F≤8 N,所以它们合力的大小可能是4 N,故选D。
拓展 (1)有三个大小分别为3 N、5 N和8 N的共点力,它们合力的最大值为 N,合力的最小值为 N。
(2)有三个大小分别为3 N、5 N、6 N的共点力,它们合力的最大值为 N,合力的最小值为 N。
答案 (1)16 0 (2)14 0
解析 (1)令F1=3 N,F2=5 N,F3=8 N
三力共线时合力最大
Fmax=F1+F2+F3=16 N
F1与F2同向,与F3反向时合力最小Fmin=0。
(2)令F1'=3 N,F2'=5 N,F3'=6 N,
三力同向时合力最大
Fmax'=F1'+F2'+F3'=14 N
F1'、F2'的合力大小范围2 N≤F12≤8 N
当F12=6 N且与F3'反向时合力最小
Fmin'=0。
例4 (多选)(2024·邵阳市高一期中)同学们都知道,合力与其分力之间遵从平行四边形定则,下列图中满足合力与分力关系的是 ( )
答案 AC
解析 由平行四边形定则可知,F1和F2的合力方向为F1的首指向F2的尾,故F是二者合力,故A、C正确;由平行四边形定则可知B和D图像中F1和F2的合力的方向与F方向相反,故B、D错误。
课时对点练 [分值:100分]
1~6题每题7分,共42分
考点一 合力与分力的关系
1.(多选)(2024·泰安市英雄山中学高一期中)大小不变的两个共点力F1与F2,其合力为F,则 ( )
A.合力大小既可等于F1,也可等于F2
B.合力F一定大于任一分力
C.两个分力大小不变,夹角在0~180°变化时,夹角越大,合力越小
D.合力的方向一定在两分力夹角的角平分线上
答案 AC
解析 当F1与F2大小相等,夹角为120°时,合力F的大小等于各分力的大小,故A正确;当F1与F2大小相等,方向相反时,合力F大小为零,此时合力F小于任一分力,故B错误;两分力大小不变,合力随夹角增大而减小,C正确;只有两分力相等且不共线时,合力在两分力夹角的角平分线上,D错误。
2.(多选)(2024·揭阳市高一期中)两个力的合力大小是100 N,其中一个力是40 N,另一个力未知,则另一个力可能是 ( )
A.60 N B.40 N C.80 N D.150 N
答案 AC
解析 根据三角形定则,|F-F1|≤F2≤F+F1,即60 N≤F2≤140 N,A、C正确。
3.(2024·唐山市迁西县第一中学高一月考)三个力F1=5 N,F2=8 N,F3=15 N作用在同一个质点上,其合力大小范围正确的是 ( )
A.2 N≤F≤28 N B.0≤F≤28 N
C.12 N≤F≤28 N D.13 N≤F≤28 N
答案 A
解析 三个共点力合力的最大值等于三个力之和Fmax=F1+F2+F3=28 N,F1、F2两个力的合力最大为F12=F1+F2=13 N,F3大于13 N,所以三个力合力的最小值是Fmin=F3-F12=2 N,故合力大小范围为2 N≤F≤28 N。故选A。
考点二 合力的求解
4.(2024·天津市高一期中)两共点力大小均为6 N,当它们夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.12 N B.6 N C.6 N D.6 N
答案 B
解析 两共点力大小均为6 N,当它们夹角为120°时,根据平行四边形定则可知,合力大小为F合=2Fcos 60°=2×6× N=6 N,故选B。
5.(2024·扬州市高一期中)两个共点力F1、F2的合力的最大值为17 N,最小值为7 N。当F1、F2的夹角为90°时,合力大小为 ( )
A.13 N B.4 N C.10 N D.24 N
答案 A
解析 根据两个力合力的取值范围可知|F1-F2|=7 N,F1+F2=17 N,解得F1=12 N,F2=5 N,当F1、F2的夹角为90°时,根据勾股定理可知合力为F==13 N,故选A。
6.如图所示,F1、F2、F3三个力恰好构成封闭的直角三角形,方向如图所示,则这三个力的合力大小为 ( )
A.0 B.2F1
C.2F2 D.2F3
答案 C
解析 由矢量合成的法则可知,F1与F3的合力为F2,则这三个力的合力大小为2F2,故选C。
7~11题每题9分,共45分
7.(2023·邢台市第二中学高一月考)两个共点力F1、F2的夹角为θ,合力为F,则下列说法正确的是 ( )
A.若仅增大θ,则F可能增大
B.若仅增大F1,则F一定增大
C.若仅减小F1,则F的大小一定改变
D.F一定小于或等于F1和F2的代数和
答案 D
解析 F1、F2的大小不变,仅增大θ,则F减小,故A错误;若θ=180°,仅增大F1,则F有可能会减小,故B错误;若θ为钝角,如图所示,仅减小F1,则F的大小可能不改变,故C错误;两力合力的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以F一定小于或等于F1和F2的代数和,故D正确。
8.(多选)(2024·哈尔滨市第六中学高一期中)两个共点力F1、F2的大小不变,它们的合力F与F1、F2之间夹角θ的关系如图所示,则 ( )
A.F的取值范围是2 N≤F≤10 N
B.F的取值范围是2 N≤F≤14 N
C.F1、F2的大小分别为6 N和8 N
D.F1、F2的大小分别为2 N和10 N
答案 BC
解析 由题图可得,当F1、F2之间夹角为90°和180°时,合力分别为10 N、2 N,则有F合1==10 N,F合2=|F1-F2|=2 N,解得两力大小分别为6 N和8 N,则F的取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,即2 N≤F≤14 N。故选B、C。
9.如图所示,水平地面上固定着一根竖直立柱,某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端,且该端绳与水平方向夹角为30°,则柱顶所受压力大小为 ( )
A.200 N B.100 N
C.100 N D.50 N
答案 B
解析 对柱顶受力分析如图所示,
定滑轮只改变力的方向,不改变力的大小,所以绳的拉力F1=F2=100 N,柱顶所受压力大小,F=2F1cos 30°=2×100× N=100 N,故B选项正确。
10.(2024·济宁市嘉祥县第一中学高一期中)已知弓的顶部跨度为l,弦均匀且弹性良好,其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为如图,假设弓的跨度保持不变,即箭在弦的正中间,弦夹在类似动滑轮的附加装置上,将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k,发射箭时弦的最大长度为2l(弹性限度内),则箭被发射瞬间所受的弹力为(设弦的弹力满足胡克定律) ( )
A.kl B.kl C.kl D.2kl
答案 C
解析 根据胡克定律可得,弦的弹力为F=k(2l-l)=kl,根据几何知识可知,弦与箭的夹角为30°,则根据力的合成可得,箭被发射瞬间所受的弹力为F0=2Fcos 30°=kl,故选C。
11.(2023·宁夏银川二中高一期末)如图所示,作用于O点的五个共点恒力矢量图的末端跟O点恰好构成一个正六边形,已知F3=F0,这五个共点力的合力大小是 ( )
A.6F0 B.3F0
C.2F0 D.条件不足,无法计算
答案 B
解析 如图所示根据平行四边形定则,F1与F4的合力等于F3,F2与F5的合力等于F3,且F1与F4的合力与F3同向,F2与F5的合力也与F3同向,所以5个力的合力等于3F3,又因为F3=F0,则5个力的合力大小为3F0,方向沿F3方向,故选项B正确。
12.(13分)如图所示,一条小船在河中心向正东方向行驶,船上挂起一风帆,帆受侧向风作用,风力大小F1为100 N,方向为东偏南30°,为了使船受到的合力恰能沿正东方向,岸上一人用一根绳子拉船,绳子方向与河岸垂直,求风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。
答案 50 N 50 N
解析 如图所示,以F1、F2为邻边作平行四边形,使合力F沿正东方向,
则F=F1cos 30°=100× N=50 N
F2=F1sin 30°=100× N=50 N。(共48张PPT)
DISANZHANG
第三章
4 第2课时 力的合成和分解的
分析与计算(一)
1.会利用作图法和计算法求合力(重点)。
2.会判断和计算合力随分力夹角变化的情况(重难点)。
学习目标
一、力的合成
二、合力与分力的关系
课时对点练
内容索引
力的合成
一
如图所示,一个物体静止在斜面上,斜面与水平方向的夹角为37°,物体所受斜面的支持力和摩擦力分别为4 N、3 N,你能求出斜面对物体的作用力(支持力和摩擦力的合力)的大小吗
答案 方法一 如图所示,先作出支持力和摩擦力的图示,
根据平行四边形定则,作出力F的图示,由图可知,斜面对物
体的支持力与摩擦力的合力大小为5 N。
方法二 先作出支持力和摩擦力的示意图,根据平行四边形定则作出合力,由于FN与Ff间的夹角为90°,根据勾股定理可得,F= N=5 N。
合力的求解方法
(1)作图法
①基本思路:
提炼·总结
②如图所示:用作图法求F1、F2的合力F。
(2)计算法
两分力不共线时,可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图,然后由几何知识求解。
杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥,如图所示。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹,塔的两侧32对钢索连接主梁,呈扇面展开,如巨型琴弦,正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°,每根钢索中的拉力都是3×104 N,那么这对钢索对塔柱形成的合力有多大 方向如何
例1
答案 5.2×104 N,方向竖直向下
把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力,以它们为邻边画出一个平行四边形,其对角线就表示它们的合力。由对称性可知,合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小。
方法一 作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和OB,它们跟竖直方向
的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N,则OA
和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长
为5.2个单位长度,所以合力的大小为F=5.2×1×104 N=5.2×104 N。
方法二 计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个菱形的特点,如图乙所
示,连接AB,交OC于D,则AB与OC互相垂直平分,即
AB垂直于OC,且AD=DB、OD=OC。对于直角三
角形AOD,∠AOD=30°,而OD=OC,则有F=2F1cos 30°=2×3×104×
N≈5.2×104 N。
拓展1 假如斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是60°,如图所示,求这对钢索对塔柱形成的合力。
答案 3×104 N,方向竖直向下
如图所示,由几何关系知F=3×104 N,方向竖直向下。
拓展2 如图所示,一竖直立柱在水平绳OA和斜拉绳OB的拉力作用下处于静止状态。已知水平拉力FA=1 000 N,OB与竖直方向的夹角θ=30°,求两绳拉力的合力及OB绳上拉力的大小。
答案 1 000 N 2 000 N
由sin 30°=
得FB=2FA=2 000 N
tan 30°=
得F合==1 000 N。
总结提升
求合力的几种特殊情况:
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小:F=____________
方向:tan θ=_____
总结提升
类型 作图 合力的计算
两分力等大,夹角为θ 大小:F=__________
方向:F与F1夹角为(当θ=120°时,
F1、F2、F的关系为 )
2F1cos
F=F1=F2
总结提升
返回
类型 作图 合力的计算
合力与其中一个分力垂直 大小:F=____________
方向:sin θ=_____
合力与分力的关系
二
两个大小相等的共点力F1、F2,都为20 N,则当它们间的夹角分别为0、60°、120°、180°时:
(1)请利用几何知识分别计算出合力F的大小,填入下表。
F1、F2的夹角 0 60° 90° 120° 180°
合力F/N 20
40
20
20
0
(2)当两分力大小一定时,随着夹角的增大,合力大小如何变化
答案 两分力大小一定时,随夹角增大,合力大小变小
(3)通过以上计算可知,合力一定大于分力吗
答案 不一定
合力与分力的大小关系
两分力大小不变时,合力F随两分力夹角θ的增大而 ,随θ的减小而 。(0≤θ≤180°)
(1)两分力同向(θ= )时,合力最大,F= ,合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ= )时,合力最小,F= ,合力的方向与较大的一个分力的方向相同。
(3)合力的取值范围: ≤F≤ 。
提炼·总结
减小
增大
F1+F2
0
180°
|F1-F2|
|F1-F2|
F1+F2
思考与讨论
如图所示,已知两分力F1和F2,夹角为0~180°之间(非0、非180°),利用平行四边形定则,证明|F1-F2|
F合为所求合力,平移矢量F2,合力、分力在同一个三角形中,由三角形三边关系知,|F1-F2|
平行四边形的一半是三角形,在求合力的时候,只要把表示原来两个力的矢量首尾相接,然后从第一个力的箭尾向第二个力的箭头画一个矢量(如图所示),这个矢量就表示原来两个力的合力。
提炼·总结
(多选)(2024·凉山州高一期末)下列关于两个分力F1、F2与它们的合力F的关系说法正确的是
A.合力F至少大于其中一个分力
B.合力F可能比这两个分力F1、F2都小
C.合力F一定比两个分力F1、F2都大
D.两个大小不变的分力F1、F2的夹角在0到180°之间变化时,夹角越小,合
力越大
例2
√
√
两个力的合力范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以合力F可能大于任何一个分力,可能等于任何一个分力,还可能小于任何一个分力,A、C错误,B正确;
两个大小不变的分力F1、F2的夹角在0到180°之间变化时,夹角越小,合力越大,D正确。
(2024·北京师大附中高一期中)有两个大小分别为3 N和5 N的共点力,它们合力的大小可能是
A.0 B.10 N C.12 N D.4 N
例3
√
合力大小的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以3 N和5 N的力的合力大小范围为2 N≤F≤8 N,所以它们合力的大小可能是4 N,故选D。
拓展 (1)有三个大小分别为3 N、5 N和8 N的共点力,它们合力的最大值为 N,合力的最小值为 N。
16
0
令F1=3 N,F2=5 N,F3=8 N
三力共线时合力最大
Fmax=F1+F2+F3=16 N
F1与F2同向,与F3反向时合力最小Fmin=0。
(2)有三个大小分别为3 N、5 N、6 N的共点力,它们合力的最大值为___N,
合力的最小值为 N。
14
0
令F1'=3 N,F2'=5 N,F3'=6 N,
三力同向时合力最大
Fmax'=F1'+F2'+F3'=14 N
F1'、F2'的合力大小范围2 N≤F12≤8 N
当F12=6 N且与F3'反向时合力最小
Fmin'=0。
(多选)(2024·邵阳市高一期中)同学们都知道,合力与其分力之间遵从平行四边形定则,下列图中满足合力与分力关系的是
例4
√
√
由平行四边形定则可知,F1和F2的合力方向为F1的首指向F2的尾,故F是二者合力,故A、C正确;
由平行四边形定则可知B和D图像中F1和F2的合力的方向与F方向相反,故B、D错误。
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课时对点练
三
考点一 合力与分力的关系
1.(多选)(2024·泰安市英雄山中学高一期中)大小不变的两个共点力F1与F2,其合力为F,则
A.合力大小既可等于F1,也可等于F2
B.合力F一定大于任一分力
C.两个分力大小不变,夹角在0~180°变化时,夹角越大,合力越小
D.合力的方向一定在两分力夹角的角平分线上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础对点练
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当F1与F2大小相等,夹角为120°时,合力F的大小等于各分力的大小,故A正确;
当F1与F2大小相等,方向相反时,合力F大小为零,此时合力F小于任一分力,故B错误;
两分力大小不变,合力随夹角增大而减小,C正确;
只有两分力相等且不共线时,合力在两分力夹角的角平分线上,D错误。
2.(多选)(2024·揭阳市高一期中)两个力的合力大小是100 N,其中一个力是40 N,另一个力未知,则另一个力可能是
A.60 N B.40 N C.80 N D.150 N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
根据三角形定则,|F-F1|≤F2≤F+F1,即60 N≤F2≤140 N,A、C正确。
3.(2024·唐山市迁西县第一中学高一月考)三个力F1=5 N,F2=8 N,F3=15 N作用在同一个质点上,其合力大小范围正确的是
A.2 N≤F≤28 N B.0≤F≤28 N
C.12 N≤F≤28 N D.13 N≤F≤28 N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
三个共点力合力的最大值等于三个力之和Fmax=F1+F2+F3=28 N,F1、F2两个力的合力最大为F12=F1+F2=13 N,F3大于13 N,所以三个力合力的最小值是Fmin=F3-F12=2 N,故合力大小范围为2 N≤F≤28 N。故选A。
考点二 合力的求解
4.(2024·天津市高一期中)两共点力大小均为6 N,当它们夹角为120°时,合力大小为
A.12 N B.6 N C.6 N D.6 N
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两共点力大小均为6 N,当它们夹角为120°时,根据平行四边形定则可知,合力大小为F合=2Fcos 60°=2×6× N=6 N,故选B。
5.(2024·扬州市高一期中)两个共点力F1、F2的合力的最大值为17 N,最小值为7 N。当F1、F2的夹角为90°时,合力大小为
A.13 N B.4 N C.10 N D.24 N
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根据两个力合力的取值范围可知|F1-F2|=7 N,F1+F2=17 N,解得F1=12 N,F2=
5 N,当F1、F2的夹角为90°时,根据勾股定理可知合力为F==
13 N,故选A。
6.如图所示,F1、F2、F3三个力恰好构成封闭的直角三角形,方向如图所示,则这三个力的合力大小为
A.0 B.2F1
C.2F2 D.2F3
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√
由矢量合成的法则可知,F1与F3的合力为F2,则这三个力的合力大小为2F2,故选C。
7.(2023·邢台市第二中学高一月考)两个共点力F1、F2的夹角为θ,合力为F,则下列说法正确的是
A.若仅增大θ,则F可能增大
B.若仅增大F1,则F一定增大
C.若仅减小F1,则F的大小一定改变
D.F一定小于或等于F1和F2的代数和
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能力综合练
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F1、F2的大小不变,仅增大θ,则F减小,故A错误;
若θ=180°,仅增大F1,则F有可能会减小,故B错误;
若θ为钝角,如图所示,仅减小F1,则F的大小可能不改变,故C错误;
两力合力的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以F一定小于或等于F1和F2的代数和,故D正确。
8.(多选)(2024·哈尔滨市第六中学高一期中)两个共点力F1、F2的大小不变,它们的合力F与F1、F2之间夹角θ的关系如图所示,则
A.F的取值范围是2 N≤F≤10 N
B.F的取值范围是2 N≤F≤14 N
C.F1、F2的大小分别为6 N和8 N
D.F1、F2的大小分别为2 N和10 N
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由题图可得,当F1、F2之间夹角为90°和180°时,
合力分别为10 N、2 N,则有F合1==10 N,
F合2=|F1-F2|=2 N,解得两力大小分别为6 N和8 N,则
F的取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2,即2 N≤F≤14 N。故选B、C。
9.如图所示,水平地面上固定着一根竖直立柱,某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端,且该端绳与水平方向夹角为30°,则柱顶所受压力大小为
A.200 N B.100 N
C.100 N D.50 N
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对柱顶受力分析如图所示,
定滑轮只改变力的方向,不改变力的大小,所以绳的拉力F1=F2=100 N,柱顶所受压力大小,F=2F1cos 30°=
2×100× N=100 N,故B选项正确。
10.(2024·济宁市嘉祥县第一中学高一期中)已知弓的顶部跨度为l,弦均匀且弹性良好,其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为如图,假设弓的跨度保持不变,即箭在弦的正中间,弦夹在类似动滑轮的附加装置上,将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k,发射箭时弦的最大长度为2l(弹性限度内),则箭被发射瞬间所受的弹力为(设弦的弹力满足胡克定律)
A.kl B.kl C.kl D.2kl
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根据胡克定律可得,弦的弹力为F=k(2l-l)=kl,根据几何知识可知,弦与箭的夹角为30°,则根据力的合成可得,箭被发射瞬间所受的弹力为F0=2Fcos 30°=kl,故选C。
11.(2023·宁夏银川二中高一期末)如图所示,作用于O点的五个共点恒力矢量图的末端跟O点恰好构成一个正六边形,已知F3=F0,这五个共点力的合力大小是
A.6F0 B.3F0
C.2F0 D.条件不足,无法计算
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如图所示根据平行四边形定则,F1与F4的合力等于F3,
F2与F5的合力等于F3,且F1与F4的合力与F3同向,F2与
F5的合力也与F3同向,所以5个力的合力等于3F3,又因
为F3=F0,则5个力的合力大小为3F0,方向沿F3方向,故
选项B正确。
12.如图所示,一条小船在河中心向正东方向行驶,船上挂起一风帆,帆受侧向风作用,风力大小F1为100 N,方向为东偏南30°,为了使船受到的合力恰能沿正东方向,岸上一人用一根绳子拉船,绳子方向与河岸垂直,求风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。
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尖子生选练
答案 50 N 50 N
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如图所示,以F1、F2为邻边作平行四边形,使合力F沿正东方向,
则F=F1cos 30°=100× N=50 N
F2=F1sin 30°=100× N=50 N。第2课时 力的合成和分解的分析与计算(一)
［学习目标］ 1.会利用作图法和计算法求合力(重点)。2.会判断和计算合力随分力夹角变化的情况(重难点)。
一、力的合成
如图所示，一个物体静止在斜面上，斜面与水平方向的夹角为37°，物体所受斜面的支持力和摩擦力分别为4 N、3 N，你能求出斜面对物体的作用力(支持力和摩擦力的合力)的大小吗？
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合力的求解方法
(1)作图法
①基本思路：
②如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。
(2)计算法
两分力不共线时，可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解。
例1 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图所示。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么这对钢索对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
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拓展1 假如斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是60°，如图所示，求这对钢索对塔柱形成的合力。
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拓展2 如图所示，一竖直立柱在水平绳OA和斜拉绳OB的拉力作用下处于静止状态。已知水平拉力FA=1 000 N，OB与竖直方向的夹角θ=30°，求两绳拉力的合力及OB绳上拉力的大小。
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求合力的几种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力 相互垂 直 大小：F= 方向：tan θ=
两分力 等大，夹 角为θ 大小：F= 方向：F与F1夹角为(当θ=120°时，F1、F2、F的关系为 )
合力与 其中一 个分力 垂直 大小：F= 方向：sin θ=
二、合力与分力的关系
两个大小相等的共点力F1、F2，都为20 N，则当它们间的夹角分别为0、60°、120°、180°时：
(1)请利用几何知识分别计算出合力F的大小，填入下表。
F1、F2的夹角 0 60° 90° 120° 180°
合力F/N 20
(2)当两分力大小一定时，随着夹角的增大，合力大小如何变化？
(3)通过以上计算可知，合力一定大于分力吗？
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合力与分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而 ，随θ的减小而 。(0≤θ≤180°)
(1)两分力同向(θ= )时，合力最大，F= ，合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ= )时，合力最小，F= ，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。
(3)合力的取值范围： ≤F≤ 。
如图所示，已知两分力F1和F2，夹角为0~180°之间(非0、非180°)，利用平行四边形定则，证明|F1-F2|
三角形定则
平行四边形的一半是三角形，在求合力的时候，只要把表示原来两个力的矢量首尾相接，然后从第一个力的箭尾向第二个力的箭头画一个矢量(如图所示)，这个矢量就表示原来两个力的合力。
例2 (多选)(2024·凉山州高一期末)下列关于两个分力F1、F2与它们的合力F的关系说法正确的是 ( )
A.合力F至少大于其中一个分力
B.合力F可能比这两个分力F1、F2都小
C.合力F一定比两个分力F1、F2都大
D.两个大小不变的分力F1、F2的夹角在0到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
例3 (2024·北京师大附中高一期中)有两个大小分别为3 N和5 N的共点力，它们合力的大小可能是 ( )
A.0 B.10 N C.12 N D.4 N
拓展 (1)有三个大小分别为3 N、5 N和8 N的共点力，它们合力的最大值为 N，合力的最小值为 N。
(2)有三个大小分别为3 N、5 N、6 N的共点力，它们合力的最大值为 N，合力的最小值为 N。
例4 (多选)(2024·邵阳市高一期中)同学们都知道，合力与其分力之间遵从平行四边形定则，下列图中满足合力与分力关系的是 ( )
答案精析
一、
方法一 如图所示，先作出支持力和摩擦力的图示，根据平行四边形定则，作出力F的图示，由图可知，斜面对物体的支持力与摩擦力的合力大小为5 N。
方法二 先作出支持力和摩擦力的示意图，根据平行四边形定则作出合力，由于FN与Ff间的夹角为90°，根据勾股定理可得，F= N=5 N。
例1 5.2×104 N，方向竖直向下
解析 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小。
方法一 作图法（如图甲所示）
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F=5.2×1×104 N=5.2×104 N。
方法二 计算法（如图乙所示）
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD=DB、OD=OC。对于直角三角形AOD，∠AOD=30°，而OD=OC，则有F=2F1cos 30°=2×3×104× N≈5.2×104 N。
拓展1
3×104 N，方向竖直向下
解析 如图所示，由几何关系知F=3×104 N，方向竖直向下。
拓展2 1 000 N 2 000 N
解析
由sin 30°=
得FB=2FA=2 000 N
tan 30°=
得F合==1 000 N。
总结提升
2F1cos F=F1=F2
二、（1）40 20 20 0
（2）两分力大小一定时，随夹角增大，合力大小变小
（3）不一定
提炼·总结
减小 增大 （1）0 F1+F2
（2）180° |F1-F2|
（3）|F1-F2| F1+F2
思考与讨论
如图，以F1与F2为邻边作平行四边形，
F合为所求合力，平移矢量F2，合力、分力在同一个三角形中，由三角形三边关系知，|F1-F2|
例3 D ［合力大小的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2，所以3 N和5 N的力的合力大小范围为2 N≤F≤8 N，所以它们合力的大小可能是4 N，故选D。］
拓展 （1）16 0 （2）14 0
解析 （1）令F1=3 N，F2=5 N，F3=8 N
三力共线时合力最大
Fmax=F1+F2+F3=16 N
F1与F2同向，与F3反向时合力最小Fmin=0。
（2）令F1'=3 N，F2'=5 N，
F3'=6 N，
三力同向时合力最大
Fmax'=F1'+F2'+F3'=14 N
F1'、F2'的合力大小范围2 N≤F12≤8 N
当F12=6 N且与F3'反向时合力最小
Fmin'=0。
例4 AC ［由平行四边形定则可知，F1和F2的合力方向为F1的首指向F2的尾，故F是二者合力，故A、C正确；由平行四边形定则可知B和D图像中F1和F2的合力的方向与F方向相反，故B、D错误。］作业24 力的合成和分解的分析与计算(一)
1~6题每题7分,共42分
考点一 合力与分力的关系
1.(多选)(2024·泰安市英雄山中学高一期中)大小不变的两个共点力F1与F2,其合力为F,则 ( )
A.合力大小既可等于F1,也可等于F2
B.合力F一定大于任一分力
C.两个分力大小不变,夹角在0~180°变化时,夹角越大,合力越小
D.合力的方向一定在两分力夹角的角平分线上
2.(多选)(2024·揭阳市高一期中)两个力的合力大小是100 N,其中一个力是40 N,另一个力未知,则另一个力可能是 ( )
A.60 N B.40 N C.80 N D.150 N
3.(2024·唐山市迁西县第一中学高一月考)三个力F1=5 N,F2=8 N,F3=15 N作用在同一个质点上,其合力大小范围正确的是 ( )
A.2 N≤F≤28 N B.0≤F≤28 N
C.12 N≤F≤28 N D.13 N≤F≤28 N
考点二 合力的求解
4.(2024·天津市高一期中)两共点力大小均为6 N,当它们夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.12 N B.6 N C.6 N D.6 N
5.(2024·扬州市高一期中)两个共点力F1、F2的合力的最大值为17 N,最小值为7 N。当F1、F2的夹角为90°时,合力大小为 ( )
A.13 N B.4 N C.10 N D.24 N
6.如图所示,F1、F2、F3三个力恰好构成封闭的直角三角形,方向如图所示,则这三个力的合力大小为 ( )
A.0 B.2F1
C.2F2 D.2F3
7~11题每题9分,共45分
7.(2023·邢台市第二中学高一月考)两个共点力F1、F2的夹角为θ,合力为F,则下列说法正确的是 ( )
A.若仅增大θ,则F可能增大
B.若仅增大F1,则F一定增大
C.若仅减小F1,则F的大小一定改变
D.F一定小于或等于F1和F2的代数和
8.(多选)(2024·哈尔滨市第六中学高一期中)两个共点力F1、F2的大小不变,它们的合力F与F1、F2之间夹角θ的关系如图所示,则 ( )
A.F的取值范围是2 N≤F≤10 N
B.F的取值范围是2 N≤F≤14 N
C.F1、F2的大小分别为6 N和8 N
D.F1、F2的大小分别为2 N和10 N
9.如图所示,水平地面上固定着一根竖直立柱,某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端,且该端绳与水平方向夹角为30°,则柱顶所受压力大小为 ( )
A.200 N B.100 N
C.100 N D.50 N
10.(2024·济宁市嘉祥县第一中学高一期中)已知弓的顶部跨度为l,弦均匀且弹性良好,其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为如图,假设弓的跨度保持不变,即箭在弦的正中间,弦夹在类似动滑轮的附加装置上,将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k,发射箭时弦的最大长度为2l(弹性限度内),则箭被发射瞬间所受的弹力为(设弦的弹力满足胡克定律) ( )
A.kl B.kl C.kl D.2kl
11.(2023·宁夏银川二中高一期末)如图所示,作用于O点的五个共点恒力矢量图的末端跟O点恰好构成一个正六边形,已知F3=F0,这五个共点力的合力大小是 ( )
A.6F0 B.3F0
C.2F0 D.条件不足,无法计算
12.(13分)如图所示,一条小船在河中心向正东方向行驶,船上挂起一风帆,帆受侧向风作用,风力大小F1为100 N,方向为东偏南30°,为了使船受到的合力恰能沿正东方向,岸上一人用一根绳子拉船,绳子方向与河岸垂直,求风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。
答案精析
1.AC 2.AC 3.A 4.B
5.A ［根据两个力合力的取值范围可知|F1-F2|=7 N，F1+F2=17 N，解得F1=12 N，F2=5 N，当F1、F2的夹角为90°时，根据勾股定理可知合力为F==13 N，故选A。］
6.C ［由矢量合成的法则可知，F1与F3的合力为F2，则这三个力的合力大小为2F2，故选C。］
7.D ［
F1、F2的大小不变，仅增大θ，则F减小，故A错误；若θ=180°，仅增大F1，则F有可能会减小，故B错误；若θ为钝角，如图所示，仅减小F1，则F的大小可能不改变，故C错误；两力合力的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2，所以F一定小于或等于F1和F2的代数和，故D正确。］
8.BC ［由题图可得，当F1、F2之间夹角为90°和180°时，合力分别为10 N、2 N，则有F合1==10 N，F合2=|F1-F2|=2 N，解得两力大小分别为6 N和8 N，则F的取值范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2，即2 N≤F≤14 N。故选B、C。］
9.B ［对柱顶受力分析如图所示，
定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以绳的拉力F1=F2=100 N，柱顶所受压力大小，F=2F1cos 30°=2×100× N=100 N，故B选项正确。］
10.C ［根据胡克定律可得，弦的弹力为F=k（2l-l）=kl，根据几何知识可知，弦与箭的夹角为30°，则根据力的合成可得，箭被发射瞬间所受的弹力为F0=2Fcos 30°=kl，故选C。］
11.B ［
如图所示根据平行四边形定则，F1与F4的合力等于F3，F2与F5的合力等于F3，且F1与F4的合力与F3同向，F2与F5的合力也与F3同向，所以5个力的合力等于3F3，又因为F3=F0，则5个力的合力大小为3F0，方向沿F3方向，故选项B正确。］
12.50 N 50 N
解析
如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，
则F=F1cos 30°=100× N=50 N
F2=F1sin 30°=100× N=50 N。
