永宁上游高级中学 2024-2025学年第一学期月考(一)
高三数学试题
班级： 姓名： 学号： ：仿
2 2 2 2
时间:120 分钟 分值：150 分 命题教师:马成云 审题教师：赵冬奎 A．C3 C4 C5 C11 220
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题只有一个正确答案． B．第 2023 行中从左往右第 1011 个数与第 1012 个数相等
n 1
1．已知集合M x y x 6 N y y 2x， 1 i 1 n，则下列结论正确的是（ ） C．记第 n 行的第 i 个数为ai ，则 3 ai 4
i 1
A．M N B． N M C． N M D．M N D．第 30 行中第 12 个数与第 13 个数之比为13:18
2．已知函数 = ( )的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ） 7．已知函数 f x x2 2x，g x ax 2（a 0），若对任意的 x1 1,2 ，总存在 x2 1,2 ，
3cosx x 1
A． B． 使得 f x g x a1 2 ，则实数 的取值范围是（ ）．
2x 2 x 2x 2 x
1
x 3 1 2 1 x 2x 1cosx A． 0, B． ,3 C． 0,3 D． 3, C． D． 2 2
2x
x
1 2 1
8．当 x∈（0，+∞）时，若关于 x 的方程 x2 eax 有两解（e 是自然对数的底数），则实数 a 的取
3．某学校组织学生开展研学旅行，准备从 4 个甲省景区，3 个乙省景区，2 个丙省景区中任选 4
值范围是（ ）
个景区进行研学旅行，则所选的 4 个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（ ）
2 1 2 1
6 4 2 2 A． ( , ) B． ( , ) C． (0, ) D． (0, )
A． B． C． D． e e e e
25 7 7 5
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
4．某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量 X～N 1000,2500 （单位：个），估计
符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分．
2
300 天内小笼包的销售量约在 950 到 1050 个的天数大约是 （ ）（若随机变量 X～N , ，
9．投掷一枚质地均匀的骰子，事件 A “朝上一面点数为偶数”，事件B “朝上一面点数不超过 2”，
则P X 0.6827，P 2 X 2 0.9545， 则下列结论正确的是（ ）
P 3 X 3 0.9973） A．事件 A, B互斥 B．事件 A, B相互独立
1 2
A．205 B．246 C．270 D．275 C．P B A D．P A B
3 3
5．“a 2”是“函数 f x ax 3在区间 1,2 上存在零点”的（ ）
10．以下说法正确的是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 A．89，90，91，92，93，94，95，96，97 的第 75 百分位数为 95
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 x x
B．命题：“ x 0,e 00 x0 1”的否定为：“ x 0,e
0
0 x0 1”
6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于 1261 年所著的《详
C．两个随机变量相关系数 r 的绝对值越接近于 1，这两个随机变量的线性相关性越强
解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如
1
D．若a 0,b 0,2a b 1
2
，则a b
2
图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） 4
高三数学试卷 第 1 页（共 3 页）
{#{QQABZYSUgggIAJJAABgCEwHKCkIQkBCCAYgORFAEMAABgBFABAA=}#}
x
11．已知定义在 上的奇函数 f x ，其周期为 4，当 x 0,2 时， f x 2 2，则（ ） 17．（本题 15 分）
2023 年杭州亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日举行，亚洲 45 个
A． f 2024 1 B． f x 的值域为 2,2
国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，
C． f x 在 4,6 上单调递增 D． f x 在 4,4 上有 9 个零点
准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
别抽取了男生和女生各 100 名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，
12．某次体检中，甲班学生体重检测数据的平均数是55kg，方差为 16；乙班学生体重检测数据
经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．
的平均数是60kg，方差为 21.又甲、乙两班人数之比为 3：2，则甲、乙两班全部学生体重的方差
(1)根据等高堆积条形图，填写下列2 2列联表，并依据 0.010的独立性检验，推断是否可以
为 .
认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
13．直线 y ax e与曲线C y x ln x相切，则a ．
是否喜欢羽毛球运动
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x : ． 性别 合计
① f x1x2 f
x1 f x2 ；②当 x (0, )时， f (x) 0
是 否
；③ f (x)是奇函数．
四、解答题:本题共 5 小题，共计 77 分,解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 男生
15．（本题 13 分）
女生
一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共 10 个，其中白球有 4 个，黑球有 6 个．
(1)若有放回地从袋中随机摸出 3 个球，求恰好摸到 2 个黑球的概率； 合计
(2)若不放回地从袋中随机摸出 2 个球，用 X 表示摸出的黑球个数，求 X 的分布列和期望与方差.
(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取 30 名学生，
*
设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为 X，求P X k 取得最大值时的 k k N 值．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（本题 15 分）
3 2 2
参考公式：
已知函数 f (x) x x f ( 1)x，其中 f x 是 f x 的导函数.
3 2n ad bc
2 ，其中n a b c d ．
(1)求 f 1 ； a b c d a c b d
(2)求过原点与曲线 y f x 相切的切线方程.
高三数学试卷 第 2 页（共 3 页）
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18.（本题 17 分） 19.（本题 17 分）
1
某学校食堂有 A, B两家餐厅，张同学第 1 天选择A 餐厅用餐的概率为 ．从第 2 天起，如果前一 若存在常数 k(k 0) ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x2 x1 x2 ，都有
3
f x1 f x2 k x1 x3 2 成立，则称函数 f x 在其定义域 D 上是 " k -利普希兹条件函数
天选择A 餐厅用餐，那么次日选择A 餐厅用餐的概率为 ；如果前一天选择 B 餐厅用餐，那么次
4 ".
1
日选择A 餐厅用餐的概率为 ．设他第 n 天选择A 餐厅用餐的概率为 P ． (1)判断函数 ( ) = 是否是区间 1， 上的" 1 -利普希兹条件函数"？并说明理由； n
2
3
(2)已知函数 f x x 是区间 0，a (a 0) 上的"3-利普希兹条件函数"， 求实数 a 的取值
(1)求 P2的值及Pn 1关于 Pn的表达式；
范围;
2
(2)证明数列 Pn 是等比数列，并求出 Pn 的通项公式．
3 (3)若函数 f x 为连续函数，其导函数为 f x ，若 f x K, K ，其中 0 K 1， 且
1
f 0 1. 定义数列 xn : x1 0，xn f xn 1 ， 证明: f xn .
1 K
高三数学试卷 第 3 页（共 3 页）
{#{QQABZYSUgggIAJJAABgCEwHKCkIQkBCCAYgORFAEMAABgBFABAA=}#}上游高级中学 2024--2025 学年第一学期第一次月考
高三年级数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B A A C D C BCD AC BD
1．C【详解】因为，，
所以，，.
3．B【详解】设样本空间为，则，
设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A，则，
所以.
4．A【详解】依题意，得，则，
则估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是：，
5．A【详解】因为在区间上存在两个零点，所以,解得或,
因为集合是集合或的真子集，
所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件.
6．C
【详解】对A，由可得
，故A错误；
对B，第2023行有2024项，中间两项最大，即和，
也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
对C，第n行的第i个数为，所以，故C正确；
对D，第30行中第12个数与第13个数之比为
，故D错误．
D【详解】因为对任意的,总存在，,
所以的值域为，的值域为，由，则解得，故，
8．C【详解】当时，若关于的方程有两解，等价于有两个正根，即有两个正根，设，，则，而；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴，且时，；时，，
∴与在时有两个交点，∴实数的取值范围是，
9．BCD【详解】投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数的可能情况有6种，
事件朝上一面点数为偶数包含3种情况：2，4，6，
事件朝上一面点数不超过2包含2种情况：1，2，显然，不互斥，A错误；
故， ，，所以,即，相互独立，B正确；
因为，C正确；，D正确．
10．AC【详解】对于选项A：因为，
所以第75百分位数为第7位数：95，故A正确；
对于选项B：命题：“”的否定为：“”，故B错误；
对于选项C：两个随机变量相关系数r的绝对值越接近于1，这两个随机变量的线性相关性越强，故C正确；
对于选项D：因为，则，解得，
则，当且仅当时，等号成立，所以，故D错
13．【详解】设切点坐标为，由于，所以切线的斜率为：，
所以曲线在处的切线方程为：，即，
所以，，
14．（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
15．(1) (2)分布列见解析，
【详解】（1）摸出黑球的概率是，则有放回地从袋中随机摸出3个球，
恰好摸到2个黑球的概率为；
（3）的可能取值为0,1,2，
则，，，
的分布列为：
X 0 1 2
P
.
16．(1) (2)或
【详解】（1）因为，所以，
令，得，解得；
（2）由（1）可知，所以，
设切点，则，所以切线方程为，
由题，整理得，解得或.
当时，切线方程为；
当时，切线方程为.
综上，曲线过原点的切线方程为或.
17．(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联 (2)
【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：
性别 是否喜欢羽毛球运动 合计
是 否
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
零假设为：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．
，
∴依据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．
（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，
∴随机变量，∴．
要使取得最大值，则需，解得，
∵，∴当时，取得最大值．
18．(1)，． (2)证明见解析，．
【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，
则，且与互斥．根据题意得
，
，
，
，即．
（2）
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，从而．
19．(1)是的，理由见解析 (2) (3)证明见解析
【分析】（1）根据新定义只需证明即可判断；
（2）将不等式变为关于的不等式,结合定义域即可求得参数；
（3）先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.
【详解】（1）依题意， ，
注意到 ， 因此 ， 从而 ，
故 ，
即 是区间 上的 " 1 一利普希兹条件函数".
（2）依题意， ， 均有 ，
不妨设 ， 则 ， 即 ，
设 ， 则 单调递减，
故 恒成立， 即 ， 因此 .
（3）因为 ，设 ，则 ，
故 为单调递增函数，
则 ， 恒有 ， 即 ，
设， 则 ， 故 为单调递减函数，
则 ， 恒有 ， 即 ，
综上可知， ，
则 ，
当 时，
，
则
，
综上可知， .
