2024~2025 学年上海市复旦大学附属中学高一下学期摸底考试卷（A 卷）
数学 试卷
（考试时间 120 分钟 满分 100 分）
考生注意：
1. 带 2B 铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具。
2. 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 100 分，考试时间 120 分钟
3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一.填空题（每小题 3 分，共 36 分）
1．函数 f (x) 的定义域为__________
2．函数 y 的值域的真子集的个数为_________
3．设全集 U={x| }，若 A={x| |x-1|+|x-3|=2}，B={x| 1≤2x＜4}，则 ∩B=__________
4．函数 f (x) 的值域为__________
5．已知方程 4 的两根为 ，则 ( ) =_________
6．已知 a,b,m 为正实数，若幂函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，则 的最小值为________
7．若定义域为 R 的函数 f (x)取得最大值时，值域为(0,﹢∞)子集的 g(x) 也取得最小值，则称 f (x)为
“辅耐克函数”，如 y=1 就是“辅耐克函数”，请你再写出一条“辅耐克函数”的解析式________
8．有一个加密函数 ， 26 个子母组成的集合，其中 A=1、
B=2…Z=26，例：APPLE 加密后为 NCCYR（代入后以 f (x)值为新内容），则 YBIR 加密前的形式
9．已知函数 的最小值为 f (0)，则 m 的取值范围为_______
10．已知函数 的值域为 R，则函数 的值域为_______
11．数学的浪漫难以言表，今年是 2025 年，2025=452，2025=13+23+43+53+63+73+83+93，我们将可以表示成某个整
数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一
封信，则标题可起为______年之约。
12．已知定义在 R 上的的函数 f (x)满足：f (x)+ f (-x)=x2，对于任意 x1，x2 [0,﹢∞)均有 ＜ (x1≠x2)，
则不等式 f (x)- f (1-x)＞x 的解集为_________
二.选择题（每小题 4 分，共 16 分）
13．一个函数不能用二分法求零点是这个函数与 x 轴相切的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若 cos ·tan ＜0，且 ＞0，则幂函数 y=xa，a R 与角 的终边（ ）
A．不可能有交点 B．可能有交点 C．有且只有 1 个交点 D．至少有 2 个交点
15．下列关于函数奇偶性的说法是真命题的序号为（ ）
命题①：任意函数都可以表示成一个奇函数加上一个偶函数
命题②：函数 f (x)可以表示成 的形式的充要条件是 f (x)可以表示成 的形式
命题③：既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个：y=1
命题④：奇函数过定点(0,0)
A．① B．①② C．②③④ D．①②④
16．自然界元素的相对原子质量的计算需要知道丰度，计算公式为：A1·a1% A2·a2% An·an%，小丁同
学发现，a1% a2% an%=1，他根据这一科学事实，构造出严格增数列{an}，其中 an 均为正整数且{an}中所
有项的和为 100，则关于数列{an}说法正确的是（ ）
A．可能为等差数列，不可能为等比数列 B．可能为等比数列，不可能为等差数列
C．既可能是等差数列，也可能为等比数列 D．既不可能为等差数列，又不可能为等比数列
三.解答题（共 5 题，48 分）
17．（本题共 8 分，每小问均为 4 分）
已知集合 A={x| }，集合 B={x| }
（1）若 a B，求：集合 A 中的整数
（2）若 A∪B=A，求：a 的取值范围
18．（本题共 8 分，每小问均为 4 分）
已知函数
（1）求证： 为偶函数
（2）若 f (x)在(0,﹢∞)上单调递增，且满足 f (ax)＞f ( )
求解：关于 x 的不等式 的解集
19．（本题共 10 分，（1）小问 2 分，（2）（3）小问均为 4 分）
设 A,B,C 为△ABC 的三个内角，请下列问题：
命题①：在△ABC 中，若 sin =sin ，则△ABC 形状为________
命题②：在△ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则△ABC 形状为________
命题③：在△ABC 中，若 tanA·tanB＜1，则△ABC 的形状为_________
命题④：在△ABC 中，若 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1，则△ABC 的形状为_________
命题⑤：在△ABC 中必有 sin(A+B)=sinC
（1）你认为命题⑤是________命题（选填“真”或“假”），并证明你的结论
（2）将下列序号补充入命题①~④使得上述命题为真命题（序号可重复使用）
①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④等腰三角形
（3）证明命题③的正确性
20．（本题共 10 分，（1）（3）小问均为 3 分，（2）小问为 4 分）
新定义：对于定义域为 R 的两个函数 f (x)和 g(x)，我们定义它们的“对称差函数”为：D(x)
（1）构造两个函数 f (x)和 g (x)，使得 D(x)的值域为{0,1,2}，并给出这两个函数的解析式。
（2）设 f (x)和 g (x)都是连续函数，且 f (a)
21．（本题共 12 分，每小问均为 4 分）
当函数 f (m)和 g(n)的函数值都不为零时，f (m)定义域内的实数 m 均存在 g(n)定义域内的唯一实数 n 与之对应使满足：
当 f (m) 时有 f (2m) g(2n)，则称 f (m)与 g(n)互为“倒反函数”
（1）当 f (m)为奇函数时，求：g(n)为奇函数的充要条件
（2）设全集为 R，求：所有满足与自己本身互为“倒反函数”的函数的定义域的并集的补集
（3）小张同学深入思考，给出一个命题，请将命题补充完成，使其成为真命题并予以证明。
对于定义域为：_____________的函数 f (x)=tanx，f (x)与自己本身互为“倒反函数”
参考答案及评分标准
填空题（1~12 题）
1．( )∪(1, ﹢∞)
2．7 提示：值域为{4,0,-2}
3．[0,1)
4．(0,45]
5． 0
6． 9
7． y=sinx 或 y=cosx （答案不唯一，写出一条即可）
8． Love
9． [0, ]
10．[-15,15]
11． 千或 1000 （提示：任意连续立方和均为平方数，可用数学归纳法证明：13+23+…+n3=[ ]2=(1+2+…+n)2
12．[0, ) （提示：构造 g(x)= f (x) ）
选择题（13~16 题）
13．B
14．A （提示：幂函数不经过第四象限，而角 的终边在第四象限，易错点：终边不包括原点）
15．B （提示：命题①②正确，命题③错误，y=1 的定义域有多种；命题④错误，奇函数定义域不一定有 x=0）
16．A （提示：{18,19,20,21,22}满足等差数列，等差数列，等比数列项数不少于 3 项）
解答题（17~21 题）
17. （1）设 f (x) ，可得 f (x)单调递增，显然 f (1)=1，f (2)=7，则 B=[1,2)
易解得集合 A 中的两根为 a-1 和 2a+3，由 a B 可知 2a+3-a+1=a+4≥5
则 A=[a-1,2a+3)且 x≠0，显然 a=1 时 x 也不能作为 A 的整数解
经计算可得：1≤a＜ 时，A 中的整数解为 1,2,3,4,5；当 ＜a＜2 时，a 中的整数解为 1,2,3,4,5,6（4 分）
（2）由题意得： 或 解得：a （4 分）
18． （1）定义域：（-1，1）关于原点对称，再证明 f（x）= f（-x）即可（4 分）
（2）先得到|ax|＞ + ，利用基本不等式得到|a|＞1，又由对数函数性质，a＞0 且 a≠1，可得 a＞1,
再求解不等式得到解集为（0， ]（4 分）
19． （1）真命题，运用诱导公式易证（1+1=2 分）
（2）② ④ ③ ② （4 分）
（3）提示：先根据 tanA，tanB 正负分类讨论，再运用反证法证明当同时满足 A+B 为钝角且 A 和 B 都是锐角
时，推出 tanA·tanB＜1，与已知矛盾，所以只能是钝角三角形（4 分）
20．（1） ， 合理即可，答案不唯一（3 分）
（2）应用零点存在定理。由于 f(a)
零点处，f(x)=g(x)，因此 D(x)=0。（4 分）
（3）当且仅当 x=0 或 1- 时 D(x)最小值为 0；当且仅当 x=2 时 D(x)最大值为 4（3 分）
21．参考解析：
（1）①f (m)与 g(n)定义域相同 ②f (m)与 g(n)值域中都不含{0} ③g(n)过定点(0,0)
同时满足①③或①②是当 f (m)为奇函数时 g(n)为奇函数的充要条件
充分性证明：
由“倒反函数”定义内容可知：当函数 f (m)和 g(n)的函数值都不为零时，f (m)定义域内的实数 m 均存在 g(n)定义域
内的唯一实数 n 与之对应使满足：当 f (m) 时有 f (2m) g(2n)
∵当定义域相同时，f (m)定义域内的实数 m 与 g(n)定义域内的实数 n 一一对应
情况一：值域不含{0}
∴恒有 f (m)
∵f (m)为奇函数，则有 f (-m)= f (m)
∵m 和 n 一一对应，因此 g(n) 上任意一点(n, )均有关于原点对称的点(-n, )与之对应。
∴函数 g(n)关于原点对称
∴g(n)为奇函数
情况二：g(n)过定点(0,0)
当 f (m)≠0 时，同情况一。
当 f (m)=0 时，∵f (m)为奇函数
∴f (m)过定点(0,0)
∵g(n)过定点(0,0)，仍与 f (m)存在一一对应关系且不会违反与原点对称。
∴g(n)为奇函数
必要性证明：
若 f (m)与 g(n)均为奇函数，为满足实数 m,n 在各自定义域内一一对应，显然定义域相同。
又∵f (m)可能过定点(0,0)，为满足对称性关系，则 f (m)与 g(n)值域中都不含{0}或 g(n)过定点(0,0)
综上：①f (m)与 g(n)定义域相同 ②f (m)与 g(n)值域中都不含{0} ③g(n)过定点(0,0)
同时满足①③或①②是当 f (m)为奇函数时 g(n)为奇函数的充要条件 （4 分）
（2）补集为{0}，
∵f (m)与自己本身互为“倒反函数”
∴对任意函数值都不为零时，f (m)定义域内的实数 m 均存在唯一实数 n 与之对应使满足：
当 f (m)= 时有 f (2m)=-f (2n)
假设定义域内有 m=0，代入可得 f (0)= -f(2n)
∴由于定义域内实数 m 有唯一实数 n 与之对应，显然此时 m=n=0、
∴-f (0)= ，即 f (0)2= -1，这与任意实数的平方均为非负数，不可能为-1
∴假设不成立
∴定义域内不可能有{0}
注意到其余值都不能确定唯一的 f (x)也不具有矛盾
∴所有满足与自己本身互为“倒反函数”的函数的定义域的并集的补集为{0} （4 分）
（3）定义域：x {x|x=90k，k Z}，证明如下：
由（2）可知，f (x)定义域内不含 0，由 f (x)=tanx 的性质，为满足一一对应，易得定义域为：x {x|x=90k，k Z}
∵f (x)=tanx，设 f (x) ，其中 mn≠0
∴g(x)=
∴f (2x)
经过化简，可得 f (2x) -g(2x)
∴ 对于定义域为：x {x|x=180k，k Z}的函数 f (x)=tanx，f (x)与自己本身互为“倒反函数”
