2022-2023学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》单元同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
2．如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．﹣1+ B． C．﹣1+ D．
3．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
4．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形
拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（ ）
A．169 B．196 C．392 D．588
5．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
二．填空题
7．△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 ．
8．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
9．在△ABC中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则BC＝ ．
10．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ．
11．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 ．
12．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝8，DE＝，BC＝2，CD＝5，则四边形ABCD的面积为 ．
13．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，从电线杆高于地面6m的C处，向地面拉一条10m长的缆绳AC，那么固定点A到电线杆底部B的距离为 m．
三．解答题
15．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
16．如图，每个小正方形的边长都为1．求四边形ABCD的周长及面积．
17．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
18．在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
19．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当DP⊥AB时，t＝ ；
（3）求线段BD的长；
（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2．
22．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
参考答案
一．选择题
1．解：设一条直角边长为xcm，则另一条直角边为（7﹣x）cm，
根据题意得：x（7﹣x）＝6，
解得：x1＝3，x2＝4，
斜边的长为＝5（cm）；
方法二：设两直角边为x和y，则xy＝6，x+y＝7．
∴xy＝12，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49．
∴x2+y2＝49﹣2xy＝25．
∴斜边长＝＝5（cm）；故选：A．
2．解：∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°，
∴AB＝，
∵以A为圆心，AB为半径画弧，交数轴于点D，
∴AD＝AB＝，
∴点D表示的数是：﹣1，故选：C．
3．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB＝＝＝．
由AE BC＝AB CD知，CD＝＝＝．故选：B．
4．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF2＝142+142＝392，
故选：C．
5．解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，
∵a：b：c＝：：，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形
故选：C．
6．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
二．填空题
7．解：如图所示，在Rt△ABD中，
∵AB＝，AD＝6，
∴BD＝＝＝18，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝6，
∴CD＝＝＝8，
∴当AD在三角形的内部时，BC＝18+8＝26；
当AD在三角形的外部时，BC＝18﹣8＝10．
∴BC的长是26或10．
故答案为：26或10．
8．解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
9．解：当高在△ABC内部时，如图1所示：
在△ABC中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝＝2，BE＝＝＝3，
∴BC＝CE+BE＝2+3＝5，
当高在△ABC外部时，如图2所示，
同理可得EC＝2，BE＝3，
∴BC＝1，
故答案为：5或1．
10．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝＝＝2，
所以阴影部分的面积S＝×π×22+×32+﹣×π×（）2＝12，
故答案为：12．
11．解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
设CD为x，AD＝DB＝4﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即CD＝，
故答案为：．
12．解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠DEB＝90°，
∵DE＝，
∴BD＝＝＝，
∵BC＝2，CD＝5，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△DBC是直角三角形（∠DBC＝90°），
∴四边形ABCD的面积S＝S△DAB+S△DBC
＝+
＝+×2
＝4+，
故答案为：4+．
13．解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∵AB＝3，AC＝2，
∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝8（m），
即固定点A到电线杆底部B的距离是8m，
故答案为：8．
三．解答题
15．证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
16．解：根据勾股定理得AB＝＝5，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝2，
故四边形ABCD的周长为5+5++2＝5+5+3；
面积为5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣1﹣×3×4﹣×2×4＝17.5．
17．解：如图，根据题意，得
OA＝30×1.5＝45（千米），OB＝40×1.5＝60（千米），AB＝75千米．
∵452+602＝752，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
18．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
∴S△ABC＝BC AD＝×21×8＝84．
因此△ABC的面积为84．
故答案为84．
19．解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，
∴9，12，16不是“派生勾股数”；
∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，
∴10，24，26是“派生勾股数”；
（2）勾股数3，4，5，把勾股数同时乘以3可得9，12，15，15﹣12＝3，9，12，15是“新新勾股数”；
勾股数5，12，13，把勾股数同时乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，36，39是“新新勾股数”；
勾股数7，24，25，把勾股数同时乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，72，75是“新新勾股数”；
勾股数9，40，41，把勾股数同时乘以3可得27，120，123，123﹣120＝3，27，120，123是“新新勾股数”；
勾股数11，60，61，把勾股数同时乘以3可得33，180，183，183﹣180＝3，33，180，183是“新新勾股数”．
综上所述，斜边小于200的所有“新新勾股数”有9，12，15；15，36，39；21，72，75；27，120，123；33，180，183．
20．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13．
故答案为：13．
（2）∵BD平分∠ABC，DP⊥AB，DC⊥CB，
∴DC＝DP．
在Rt△DCB和Rt△DPB中，
，
∴Rt△DCB≌Rt△DPB（HL）．
∴BC＝BP＝5．
∴t＝BP÷1＝5．
故答案为：5．
（3）∵BD平分∠ABC，
∴．
解得：CD＝．
在Rt△CDB中，
BD＝＝．
（4）①当点P在AB上时，
∵∠DBP＝∠DPB，
∴DB＝DP．
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
由（2）知：Rt△DCB≌Rt△DEB，
∴BE＝BC＝5．
∵DB＝DP，DE⊥AB，
∴PE＝BE＝5．
∴PB＝2BE＝10．
∴t＝BP÷1＝10；
②当点P在AC上时，
∵∠DBP＝∠DPB，
∴DB＝DP．
由（3）知：BD＝，CD＝，
∴PD＝．
∴PA＝AC﹣CD﹣PD＝．
∴点P运动的距离为：AB+PA＝．
∴t＝（）÷1＝．
综上，t的值为：10或．
21．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴，
即，
∴CH＝，
∴AH＝，
∴S四边形AHIN＝AH AN＝18，，
∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
∴AC2＝AH AB，
同理可得：BC2＝BH AB，
∴AC2+BC2＝AH AB+BH AB＝AB2．
22．解：（1）在Rt△ABC中
由面积的两种算法可得：
解得：CD＝
（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2
在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2
解得＝
