铧强中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题
1．与角的终边相同的最小正角是（ ）
A．10° B．30° C．60° D．330°
2．在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分且必要 D．既不充分也不必要
5．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知函数，且恒成立，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在区间上单调递增
D．的图象关于点对称
8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
10．已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．的值大于零
C．若，则 D．若，，则
12．已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．在上值域为
三、填空题
13．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则__________．
14．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若，则与的终边相同；
⑤若，则是第二或第三象限的角．
其中正确的命题是______．（填序号）
15．若在区间上单调递增，则实数的最大值为__________.
16．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.
四、解答题
17．（1）求值：．
（2）已知角终边上一点，求的值．
18．已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
19．已知函数.
(1)化简；
(2)若角终边有一点，且，求的值；
(3)求函数在的值域.
20．计算：
(1)已知是第三象限角，，求；
(2)已知是方程的根，求的值.
21．已知函数
(1)求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间；
(2)求在上的最值及对应的的值.
22．已知第二象限角α满足___________.请从下列三个条件中任选一个作答.(注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分)
条件①：，是关于x的方程的两个实根；
条件②：角α终边上一点，且；
条件③：.
（1）求的值；
（2）求的值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】写出与角终边相同的角的集合，即可得出结论
【详解】设是角终边相同角，则的集合表示为，
当时，取得最小正角为.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意作出示意图，并利用三角形函数定义即可求得点的坐标.
【详解】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得，，作轴且垂足为；
利用三角函数定义可得，；
又点在第四象限，所以点的坐标为.
故选：C
3．C
【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.
【详解】令，则，，
则.
故选：C.
4．B
【分析】由已知，根据题意，由可得或，而当时，可以得到，即可做出判断.
【详解】由已知，，
可得或，此时不一定能得到；
而时，可以得到.
所以：是的必要不充分条件.
故选：B.
5．D
【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
函数是奇函数，排除AC；
当时，，
此时图像在轴的上方，排除B.
故选：D
6．B
【分析】求出最小正周期，进而得到，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.
【详解】设的最小正周期为，
由题意得：，解得，
因为，所以，
所以，
令，解得：，
当时，，B正确；
当时，，当时，，
故其他选项，均不满足要求.
故选：B
7．C
【分析】由题意可得当时，取到最大值，结合正弦函数的最值可求得，即，再根据正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：当时，取到最大值，
则，解得，
∴.
对A：，故A不符合题意；
对B：∵，
故函数为奇函数，故B不符合题意；
对C：令，解得，
故的单调递增区间为，
∵，则取，可得在区间上单调递增，在上单调递减，故C符合题意；
对D：∵，∴的图象关于点对称，故D不符合题意.
故选：C.
8．C
【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】由，得对称轴，
，由，解得，
当时，对称轴，时，对称轴.
由得，
若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，
作出函数的图象如图，得，则，
由图象可知，点、关于直线对称，则，
点、关于直线对称，则，
因此，.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.
9．BC
【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误；
对于选项C：若，不是第一象限角，错误；
对于选项D：而表示的奇数倍，
，而表示 的整数倍，所以，正确．
故选：BC
10．AB
【分析】由题知位于第一象限或者第三象限，且满足，再分别讨论求解即可.
【详解】解：因为点在第一象限，
所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足，
所以，当位于第一象限时，时，；
当位于第三象限时，时，.
故选：AB
11．AD
【分析】利用诱导公式化简得，可求的值，根据奇函数的定义即可判断是否为奇函数，构造齐次式方程，代入，即可求出的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出，再根据三角函数值的正负，即可求出结果.
【详解】解：，
则，
的定义域为R，，
且，
为奇函数，A选项正确；
，B选项错误；，C选项错误；
若，
则，即，
，，
而，，
则，D选项正确；
故选：AD.
12．BD
【分析】A选项，利用整体法，结合函数图象得到的最小值为，A错误；
B选项，求出，从而确定B正确；
C选项，将代入，可得到的图象关于点中心对称，C错误；
D选项，时，，求出的最大值和最小值，确定值域.
【详解】当，，即，时，取得最小值，最小值为，A错误；
当时，，故在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；
当时，，故的图象关于点中心对称，C错误；
时，，当或，即或时，
取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为，
故值域为，D正确.
故选：BD
13．##0.75
【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为和，根据条件，可得，平方得，再求出即可.
【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和a，
则，所以．
所以，即，
解得或（舍去），又，
所以，所以.
故答案为：.
14．③
【分析】通过反例可依次判断出①②④⑤错误；角的大小与扇形半径无关，可知③正确，从而得到结果.
【详解】①，则为第二象限角；，则为第一象限角，此时，可知①错误；
②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误；
③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确；
④若，，此时，但终边不同，可知④错误；
⑤当时，，此时不属于象限角，可知⑤错误．
本题正确结果：③
【点睛】本题考查了与三角函数有关的命题的真假判断，涉及到象限角，弧度角，终边相等的角等知识．
15．##
【分析】由x∈求出的范围A，根据余弦函数单调性可知A，列出不等式组求解出a的范围即可求其最大值.
【详解】x∈，则，
由题可知，，
则，
则a的最大值为.
故答案为：.
16．
【分析】根据点坐标的几何意义，利用三角函数以及几何关系，可得答案.
【详解】如图，作轴，，为垂足.
根据题意得劣弧，则，于是在中，，，，
可得点的横坐标为，点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
故答案为：.
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解；
（2）先根据三角函数的定义求得，再结合诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】解：（1）根据三角函数的诱导公式，可得：
.
（2）由角终边上一点，可得，
所以．
18．(1)
(2)最大值为25；
【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
【详解】（1）因为，
所以扇形的面积为；
（2）由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
19．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）运用诱导公式和同角关系化简；
（2）先判断点P所在的象限，再求m的值；
（3）对 作恒等变换，再根据单调性求值域；
【详解】（1）
；
（2） ， ，所以点P在第一或第二象限，又 ，所以 在第一象限， ，
；
（3）
，
当 时， ，令 ，则 ，
当 时，取得最大值 ，当 时取得最小值 ，
所以 的值域是 ；
综上，（1） ，（2） ，（3） 的值域是.
20．(1)2
(2)
【分析】(1)将已知条件的分母看作“1”，然后分子，分母同时除以，得到
，根据角所在象限，解之即可；
(2)解出方程的两根，根据的取值范围得到，然后利用同角三角函数的基本关系和诱导公式即可求解.
【详解】（1）由可得.
分子，分母同时除以，得，
解得或，又∵是第三象限角，∴.
故.
（2）∵是方程的根，
由，可得：或（舍取），
则，所以.
原式.
21．(1)对称轴：，对称中心：，减区间：
(2)当时，取最大值1；当时，取最小值
【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；
（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.
【详解】（1）
由，解得，所以对称轴方程为，
由解得，所以对称中心为，
由，解得，
所以函数的减区间为.
（2）因为，所以，
所以，
所以当，即时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为.
22．条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】选择①，利用韦达定理以及同角三角函数的基本关系可得；选②
利用三角函数的定义可得；选③，利用同角三角函数的基本关系可得，或者，进而求出或，
（1）代入正切值直接求解即可.
（2）原式化为 ，分子、分母同除、即可求解.
【详解】解：选择①
由于sin，cos是关于x的方程的两个实根，
，为第二象限角，解得；
选②
因为角终边上一点P(x，2)，且，
所以，且为第二象限角，解得
由此得；
选③
因为，平方可得
，为第二象限角，解得，
或者
由上可知或，
（1）
（2）
