南通市重点中学2022-2023学年高二下学期教学质量调研（一）
数学评分标准
单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A A C D D B
多选题
9 10 11 12
CD AB AC ACD
填空题
13. 14. 15. 16.; 7或9
解答题
（1）令，有
所在的项为........................................................................2分
得，解之得.................................................................4分
对照系数知，...............................................................6分
令，得，令，得
故.....................................10分
（1）记第二次取出黑球为事件A..............................................1分
...........................................................4分
(2)可能为0,1,2................................................................................5分
...............................................................8分
的分布列为：
X 0 1 2
P
.............................................................11分
答：第二次取出黑球的概率为，期望为........................................................12分
（1）由题意以所在直线分别为建立如图坐标系.
则,.............................................................1分
由中点,及三等分点，得
，设
解得，即共面...........................................................4分
又，...................................................................5分
(传统方法，作辅助线由线线平行证线面平行一样给分)
（2）设面的一个法向量为，设与平面所成角为
即取得....................................7分
，，........................9分
，得，.................................................................................11分
故与平面所成角的正切值为...............................................................12分
20.（1）......................2分
(2)设获得话费为元
0.84135.........................................4分
0.1359..........................6分
0.02275........................................8分
的分布列为：
Y 10 20 100
P 0.84135 0.1359 0.02275
100.84135+200.1359+1000.02275=13.4065.................................11分
答：幸运者成绩的平均值为65，参与者获得话费的数学期望为13.4065元......12分
（1）证明：在面内的射影恰好为中点，
........................................................................................1分
，，
即平面.......................................................................................4分
，，取中点，
为中点，，
以所在直线为建立如图坐标系，......................6分
又三棱台中，由，.........................7分
又由得下列各点坐标分别为：
得
设面的一个法向量
即取得..........................9分
面的一个法向量
，故二面角的大小为...................12分
法一：.........................................4分
法二：由对称性不妨设初始位置在顶点，由树形图
故.......................................................................................................4分
（2）机器蚂蚁移动次后仍在底面上的概率，故移动次后仍在底面 上的概率为，由题意得：，.......................................6分
，设，展开得，解得....................................................................................................................8分
，为首项，公比的等比数列，....................9分
故....................................................................11分
答：，.............................................................................................12分南通市重点中学2022-2023学年高二下学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1． 满足关系式的正整数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2． 袋子中有6个白球，8个黑球，现从袋子里有放回地取7次球，用表示取到白球的个数，则（ ）
A． B． C．3 D．
3． 展开式中的常数项为（ ）
A．70 B． C．16 D．64
4． 盒子中有大小形状完全相同颜色不同的10个球，其中红球4个，绿球6个，从中任取3个球，表示取出红球的个数，则（ ）
A． B． C． D．
5． 已知随机变量服从正态分布，则与的值分别为（ ）
A．13 18 B．13 6 C． 7 18 D．7 6
6． 某校为提升学生体质，决定开展为期三天的阳光体育运动，共开设跑步，足球，篮球三项运动，每天活动课时间同时进行两项体育运动，篮球和足球不安排在同一天进行，则不同的安排方案共有（ ）
A．27 B．26 C． 20 D．8
7． 已知三棱锥的棱，，两两垂直，且，．以为直径的球与平面的交线为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8． 已知有限数列项数为16，满足：，，，，则符合此条件的数列有（ ）
A．100 B．105 C．106 D．117
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．
9．已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么，
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么
10．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式的各项系数和为128
B．展开式中存在常数项
C．展开式中存在有理项
D．展开式中项的系数最大值为
11．如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形（两底边分别为），且，则（ ）
A．平面
B．平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的体积为24
12．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷n次，以表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．化简： ▲ ．（结果用表示）
14．若一个圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，表面积为，则该圆锥的体积
为 ▲ ．
15．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为 ▲ ．
已知数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位长度，则移动4次后仍在原点的概率为 ▲ ；记移动次数为，当 ▲ 时，质点位于数轴上刻度为3处的概率最大．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)
若，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
18．(本小题12分)
盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．
（1）现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；
（2）从中抽取3个球进行检测，随机变量X表示取出黑球的个数，求X的分布列及期望．
19．(本小题12分)
如图，四棱锥的底面为矩形，，，点是棱靠点的三等分点，点为棱中点．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正切值．
20．(本小题12分)
某市举行全国两会知识竞赛，从参与者中随机抽取400名幸运者，对他们的成绩进行分析，把他们的得分分成以下7组：，，，，，，，统计得到各组的频数之比为1：6：8：10：9：4：2．
（1）试用组中值估计这400名幸运者成绩的平均值﹔
（2）若此次知识竞赛得分，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过80分的可获话费10元，得分超过80分不超过95分的可获话费20元，超过95分可获话费100元，试估计任意一名参与者获得话费的数学期望．
参考数据：，，．
21．(本小题12分)
如图，在三棱台中，在面内的射影恰好为中点，．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的大小．
22．(本小题12分)
如图，已知棱长均为1的正三棱柱顶点处有一机器蚂蚁，机器蚂蚁每次随机等可能地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若机器蚂蚁初始位置位于底面的某一顶点．
（1）求机器蚂蚁移动2次后仍在底面上的概率；
（2）求机器蚂蚁移动次后仍在底面上的概率．
