2022-2023学年辽宁省农村重点高中协作体高一（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 如图，在等腰梯形中，，，，为的中点则下列式子不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列函数是增函数且在上有零点的是( )
A. B. C. D.
5. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 如图，这是甲、乙两位同学在次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的次得分中各抽选次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为( )
A. B. C. D.
7. 如图是国家统计局发布的我国最近年的人口出生率单位：，根据如图，则( )
A. 这年的人口出生率逐年下降
B. 这年的人口出生率超过的年数所占比例等于
C. 这年的人口出生率的分位数为
D. 这年的人口出生率的平均数小于
8. “碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某地区二氧化碳的排放量达到峰值亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量亿吨与时间年满足函数关系式：，若经过年，该地区二氧化碳的排放量为亿吨已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为亿吨，则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知是直线上的一个单位向量，与都是直线上的向量，且，，则( )
A. 的坐标为 B.
C. 的坐标为 D.
10. 为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了名男生，其平均数为，方差为；乙同学调查了名女生，其平均数为，方差为若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为的样本，则该样本数据的( )
A. 平均数为 B. 平均数为 C. 方差为 D. 方差为
11. 设函数，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数
B. 当时，的单调递减区间为
C. 若的定义域为，则的取值范围为
D. 若的值域为，则的取值范围为
12. 已知函数，的定义域均为，为偶函数，且，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）
13. 已知，，若，则 ．
14. 某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为的样本，将数据按，，，，分成组，制定成如图所示的频率分布直方图，则 要从日支出在的样本中用分层抽样的方法抽取人，则日支出在中被抽取的人数为 ．
15. 设，，若，则的最大值为 ．
16. 已知内一点满足，若的面积与的面积之比为：，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知命题：，，集合是命题为假命题时实数的取值集合，函数的定义域为集合．
求集合；
已知，若““是““的充分不必要条件，求的取值范围．
18. 本小题分
已知幂函数在上单调递减．
求的解析式；
若，，求的取值范围．
19. 本小题分
已知为上的奇函数，当时，．
求的值并求出在上的解析式；
若，求的取值范围．
20. 本小题分
某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关已知第一关的通过率为，第二关、第三关的通过率均为，第四关的通过率为，四关全部通过可以获得一等奖奖金为元，通过前三关就可以获得二等奖奖金为元，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
求甲未获得奖金的概率；
求甲和乙最后所得奖金之和为元的概率．
21. 本小题分
已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上一点，，点为的中点，且，，三点共线．
若点满足，证明：．
求的最小值．
22. 本小题分
已知函数．
证明：当，在上单调递增；
若恰有个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据集合的并集运算即可得出答案．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，
，故D正确．
故选：．
先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，可得，
由，可得，
，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
先求出两个不等式的解集，再结合解集之间的包含关系判断即可．
本题主要考查了绝对值不等式和分式不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：的唯一零点，不符合题意；
在上不单调，不符合题意；
在上单调递增，函数的唯一零点不在区间上，不符合题意；
在上单调递增，函数唯一的零点在区间上，符合题意．
故选：．
结合基本初等函数的单调性检验各选项，求出相应函数的零点判断是否满足题意．
本题主要考查了基本初等函数的单调性及零点的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据对数运算与对数函数的单调性，借助中间值比较大小．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数运算与对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：从甲、乙两位同学的次得分中各抽选次得分，
则共有种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有种，
故所求的概率为．
故选：．
根据古典概型的概率公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于选项A：这年的人口出生率有升有降，故选项A错误；
对于选项B：这年的人口出生率超过的年数所占比例等于，故选项B错误；
对于选项C：由于，则这年的人口出生率的分位数为从小到大第个和第个数的平均数，故选项C错误；
对于选项D：这年的人口出生率的平均数为小于，故选项D正确；
故选：．
由走势图对选项一一验证即可．
本题主要考查了统计图的应用，考查了百分位数和平均数的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：二氧化碳的排放量亿吨与时间年满足函数关系式，经过年，二氧化碳的排放量为亿吨，
，即，，
当时，即，，
对，两边同取以为底的对数，得，
即，
，
．
故选：．
根据题意，，即，，当时，即，，两边同取以为底的对数，即可求解．
本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得的坐标为，，AB正确；
的坐标为，，C错误，D正确．
故选：．
由已知结合向量的基本概念分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：甲同学调查了名男生，其平均数为，方差为；乙同学调查了名女生，其平均数为，方差为．
甲、乙两名同学调查的学生合在一起样本数据的平均数为，
甲、乙两名同学调查的学生合在一起样本数据的方差为，
故选：．
直接根据分层抽样的平均值和方差公式求解即可．
本题考查了分层抽样的平均值和方差的求解，是基础题．
11.【答案】
【解析】解；对于选项，因为当时，函数定义域为，
当时，函数定义域为；
当时，函数的定义域为，函数定义域关于原点对称，且，
所以是偶函数，故A正确；
对于选项，当时，令，解得或，
由复合函数的单调性可知的单调递减区间为，故B错误；
对于选项，若的定义域为，则恒成立，故，
则的取值范围为，故C错误；
对于选项，若的值域为，则，故，
则的取值范围为，故D正确．
故选：．
根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性，单调性的判断及应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
又，
得：；
又为偶函数，
，即，
由得，
的图象关于直线对称，故A正确；
又，故D正确；
由得，
与联立，得，
的图象关于点对称，故B正确；
由得，
又，，
，故C错误；
故选：．
利用为偶函数，且，，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，，且，
得，即，
．
故答案为：．
利用向量共线的坐标运算列式求得值，再由向量的模求解．
本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，解得，
因为内和内的样本个数比例为：：，
根据分层抽样可知，日支出在中被抽取的人数为．
故答案为：，；
根据频率之和为列出方程，求出，得到内和内的样本比例，从而得到在中被抽取的人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
即，
因为，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为．
故答案为：．
由已知可得，再利用基本不等式求出的范围即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
过点作，，
则，
又，
由平面向量基本定理可得，．
作于点，于点．
又因为∽，
所以，
因为，同理．
因为的面积与的面积之比为：，
所以，解得．
故答案为：．
过点作，，根据向量运算和平面向量基本定理可得，作于点，于点根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得，，列方程求的值．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
17.【答案】解：命题的否定为，，
命题的否定为真命题等价于，解得，
所以．
解：，要使有意义，
则，解得，
则，
因为是的充分不必要条件，则，
所以，解得，
当时，，符合题意，
因此，实数的取值范围是．
【解析】分析可知，命题的否定为真命题，由可求得集合；
求出集合，分析可知，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，还考查了充分必要性与集合包含关系的转化，属于中档题．
18.【答案】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，
解得，所以的解析式为；
由，可得，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，
所以的取值范围为．
【解析】根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；
根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解．
本题主要考查了幂函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题可知，即．
令，则，，
又为奇函数，所以，
所以，
故，
故在上的解析式为．
由函数性质可知在上单调递减，则在上单调递减．
又因为，所以，即，
所以当时，，即的取值范围为．
【解析】根据函数为上的奇函数得到，求出的值，并利用函数的奇偶性求出解析式；
得到函数的单调性及，从而解不等式，求出答案．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，获得二等奖的概率为，
获得一等奖的概率为，
故甲未获得奖金的概率为；
由可知，获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，
故甲和乙最后所得奖金之和为元的概率为．
【解析】根据已知条件，结合对立事件的概率和公式，即可求解；
根据已知条件，推得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，再结合获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，即可求解．
本题主要考查概率的求解，考查转化能力，属于基础题．
21.【答案】证明：，
，
，
，即，
，
．
解：由可知，，
，，三点共线，
，
，当且仅当，即，
时，等号成立，
故的最小值为．
【解析】根据已知条件，结合向量的线性运算，以及向量共线的性质，即可求解；
根据已知条件，结合三点共线的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
22.【答案】解：证明：当时，．
设任意，，且，，
因为，
所以，即，
所以，
所以在上单调递增．
因为，
所以是偶函数，则的图象关于轴对称．
因为恰有个零点，
所以，即．
此时，
所以在上恰有一个零点．
由同理可知在上单调递增．
令，
则在内恰有一个解，
即，
则，
所以的取值范围为．
【解析】当时，，根据单调性定义证明设任意，，且，化简计算即可得到，即可证明；
计算可得，即是偶函数，图象关于轴对称，则当恰有个零点时，，即可得到与的关系，即可代入函数解析式消去，得到在上恰有一个零点，根据单调性定义证明在上单调递增，则令，得到在内恰有一个解，即可解出答案．
本题考查函数的单调性与函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页
