盐城市亭湖高级中学2022-2023学年高一下学期期中模拟
数学
（试题满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3． 本试卷主要考试内容：必修第二册第10章至第12章．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1． 已知i是虚数单位，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2． 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 记 的内角A，B，C的对边分别为 ， ，则AC边上的高
为（ ）
A． B． C． D．
4． 利用公式： ， ，可得： ．则化简 的值是（ ）
A． B． C． D．
5． 如图在△ 中， ， ，P为CD上一点，
且满足 ，若 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
6． 设 ， ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
7． 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若三角形中 ， ，
且 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
8． 中，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分．
9． 在复平面内，复数 ，正确的是（ ）
A．复数 的模长为1
B．复数 在复平面内对应的点在第二象限
C．复数 是方程 的解
D．复数 满足 ，则
10．在 中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ， ，则（ ）
A． B．向量 ， 夹角的最小值为
C．内角A的最大值为 D． 面积的最小值为
11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B． 与 的夹角为
C． D． 在 上的投影向量为
12．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有
非常重要的地位，被普为“数学中的天桥” ．下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．复数 与复数 在复平面上对应点分别是 ，则tan∠AOB＝________．
14．已知 ， ， ， ，则 ________．
15．设 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ， ，要使 为
钝角三角形，则c的大小可取__________（填符合题意的整数值即可）．
16．如图，P为矩形ABCD边AB中点，M，N分别在线段EF、CD
上，其中 ， ， ，若 ，则
的最小值为___________．
四．解答题:本大题共6小题，共70分，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知 ， ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ， ，求 的大小．
18．（本小题满分12分）
已知复平面内的点A，B对应的复数分别为 ， （ ），
设 对应的复数为z．
（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分12分）
某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为
圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界 万米，
万米， 万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 面积及AC的长；
（2）因地理条件的限制，边界AD，DC不能更改，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户
区建筑用地的利用率，请在圆弧ABC（优弧）上设计一点 ，使得棚户区改造后的新建筑用
地APCD的面积最大，并求出最大值．
20．（本小题满分12分）
在 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）若 ， ，求角B；
（2）设 的角平分线AD交BC于点D，若 面积为 ，求AD长的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知 中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．① ；
② ；③ ．
（1）在上述三个条件中任选一个，求B；
（2）在（1）所选定的条件下，若 为锐角三角形，且 ，求 面积的
取值范围．
22．（本小题满分12分）
由两角和差公式我们得到倍角公式 ，实际上 也可以表示为
的三次多项式．
（1）试用 表示 ；
（2）求 的值；
（3）已知方程 在 上有三个根，记为 ， ， ，
求 的值．盐城市亭湖高级中学2022-2023学年高一下学期期中模拟
数学 解析
（试题满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3． 本试卷主要考试内容：必修第二册第10章至第12章．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1． 已知i是虚数单位，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算，化简 ，进而即可求出答案.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：C.
2． 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.
【详解】由，得，
所以.
故选：C
3． 记 的内角A，B，C的对边分别为 ， ，则AC边上的高
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据余弦定理求出 ，再根据面积公式列式可求出结果.
【详解】由 ，得 .
设 边上的高为 ，
因为 ，所以 ，
即 边上的高为 .故选：D
4． 利用公式： ， ，可得： ．则化简 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5． 如图在△ 中， ， ，P为CD上一点，
且满足 ，若 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 及 ，将 由三点共线可求m的值，再用 、 表示 ，进而求 即可
【详解】∵ ， ，即 且
∴ ，又C、P、D共线，有 ，即
即 ，而
∴
∴ =
故选：C
6． 设 ， ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.【详解】解： ，
，
，因为 在 上单调递增，所以 ，所以 .故选：C
7． 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若三角形中 ， ，
且 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】易知 ，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出 ，从而知 和 的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得 的值，然后由正弦定理，知 ，最后由 ，得解．
【详解】 ，且 ，
， ，
，即 ，
， ，
， ， ，
，
由正弦定理知， ， ，即 ，
， ．故选：D
8． 中，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得 ，利用基本不等式得 ，利用两角和的正切公式表示 ，结合以上条件即可求解 的取值范围．
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
两边同时除以 ，得 ，
∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，即 ，
，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 的取值范围是 ．
故选：A．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分．
9． 在复平面内，复数 ，正确的是（ ）
A．复数 的模长为1
B．复数 在复平面内对应的点在第二象限
C．复数 是方程 的解
D．复数 满足 ，则
【答案】AC
【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得 ，进而可判断AB,将 代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D.
【详解】由 得 ，则
对于A, ，故A正确，
对于B, 复数 在复平面内对应的点为 ，故该点位于第四象限，故B错误，
对于C, ,故 是 的复数根，故C正确，
对于D，设复数 对应的向量为 到,复数 对应的向量为 ,由 得 的距离为1，故复数 对应点的 在以 为圆心，半径为1的圆上，故 的最大值为 ，故D错误，
故选：AC
10．在 中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ， ，则（ ）
A． B．向量 ， 夹角的最小值为
C．内角A的最大值为 D． 面积的最小值为
【答案】AC
【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到 ，根据均值不等式得到 ，计算 ，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到 ，得到答案.
【详解】 ， ，故A对；
， ，当且仅当 时取等， ， ，即 ，故B错，C对；
，故D错.
故选：AC
11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B． 与 的夹角为
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】BC
【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】 ， ,
，解得 ,故A错误
, ，
由于 ， 与 的夹角为 ，故B正确,
,故C正确
在 上的投影向量为 ，故D错误,
故选：BC
12．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有
非常重要的地位，被普为“数学中的天桥” ．下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.
【详解】对于A，当 时，因为 ，所以选项A正确；
对于B， ，所以B错误；
对于C，由 ， ，所以 ,得出 ,选项C正确；
对于D，由C选项的分析得 ，得出 ，选项D正确
故选：ACD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．复数 与复数 在复平面上对应点分别是 ，则tan∠AOB＝________．
【答案】1
【分析】根据复数运算法则可得 两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出 .
【详解】根据复数运算法则可得 ，
所以 与 对应的点的坐标为 ，如下图所示：
易知 ；
则 .
故答案为：1
14．已知 ， ， ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】注意综合已知条件，进一步缩小 的范围，以及 的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出 ， , 的值，由 ，利用两角差的正弦公式计算.
【详解】 ，∴ ， ，∴ ，又∵ ，
∴ ，∴ ，
， ,
又∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∴
,
故答案为： .
【点睛】综合 ， ，进一步缩小 的范围是关键，由 求 是常用的思想方法，要熟练掌握
15．设 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ， ，要使 为
钝角三角形，则c的大小可取__________（填符合题意的整数值即可）．
【答案】 （填 也对，答案不唯一）
【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出 ，再分别讨论 和 为钝角时，边 的取值范围，根据题意即可得到答案
【详解】首先由 ， ， 构成三角形有 ，
若 为钝角所对边，有 ， ，
若 为钝角所对边，有 ， ，
由 ， 不可能为钝角所对边，
综上， 的取值范围是
由题意， 取整数值，故 的大小可取 或
故答案为： （填 也对，答案不唯一）
16．如图，P为矩形ABCD边AB中点，M，N分别在线段EF、CD
上，其中 ， ， ，若 ，则
的最小值为___________．
【答案】
【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，然后表示出 ，由 可得 ，代入 中求其模，利用基本不等式可求出其最小值
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知 ， ， 分别在线段 、 上，
设 （ ），
则 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以
，
设 ，则 ，
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为：
四．解答题:本大题共6小题，共70分，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知 ， ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ， ，求 的大小．
【答案】（1） ， ； （2）
【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得 ，以及 求值；
（2）条件等式由诱导公式可得 ，即可由和差公式求得 ，结合 范围即可.
【小问1详解】
…………2分
；…………………………………………………5分
【小问2详解】
，………………………………………………6分
， …………………………………………………8分
∵ ，∴ . …………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
已知复平面内的点A，B对应的复数分别为 ， （ ），
设 对应的复数为z．
（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）求出 ，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；
（2）根据 的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.
【详解】点A，B对应的复数分别为 ，
对应的复数为z， ，
（1）复数z是纯虚数， ，………………………………………………3分
解得 ，
； …………………………………………………6分
（2）复数z在复平面上对应的点坐标为 ，
位于第四象限， ， …………………………………………………9分
即 ， . …………………………………………………12分
【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.
19．（本小题满分12分）
某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为
圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界 万米，
万米， 万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 面积及AC的长；
（2）因地理条件的限制，边界AD，DC不能更改，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户
区建筑用地的利用率，请在圆弧ABC（优弧）上设计一点 ，使得棚户区改造后的新建筑用
地APCD的面积最大，并求出最大值．
【答案】(1) 万米 万平方米.
(2) 所求面积的最大值为 万平方米，此时点 为弧ABC的中点.
【解析】根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.
在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.
又cos∠ABC＝－cos∠ADC，
∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2万米，……………………………………………3分
又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方万米)．…………6分
(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，
且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)．………………………………………………7分
设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝xy.
在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，
又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，
当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28. …………………………………………………9分
∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)，……………………………11分
故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为弧ABC的中点．……………………12分
20．（本小题满分12分）
在 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）若 ， ，求角B；
（2）设 的角平分线AD交BC于点D，若 面积为 ，求AD长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度 .
（2）利用角平分线性质及面积公式得到 ，再利用基本不等式得出 最值.
【小问1详解】
解：因为 ，
依据正弦定理 ，
所以 ，
即 ，
由余弦定理变形知 ，
因为 ，所以 ． …………………………………………………3分
因为 ， ，
则在 中，由正弦定理得：
又 ，
因 ，所以 ． …………………………………………………6分
【小问2详解】
法一：因为 ， …………………………8分
是 的角平分线，
而 ，
所以 ，
即 ，
所以 ， …………………………………………………………………10分
因为 ， ， ，且 ，故AD
当且仅当 取等，
所以 最大值为 ．
答：当 时， 最大值为 ． …………………………………………………12分
法二：因为 ,
设 ， ，
在 ， 中由正弦定理知：
①，
②，
因为 ，所以① ②得，
，
令 ， ，
由于 ，
所以 ，易得此函数在 为单调递增函数，
所以当 时， 最大值为 ．
21．（本小题满分12分）
已知 中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．① ；
② ；③ ．
（1）在上述三个条件中任选一个，求B；
（2）在（1）所选定的条件下，若 为锐角三角形，且 ，求 面积的
取值范围．
【答案】（1）条件选择见解析， ；（2） .
【解析】
【分析】（1）选①，由诱导公式变形，再由正弦定理化边为角，然后由二倍角公式变形后可得 ；
选②，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得角；
选③，先由余弦定理化角为边，然后再由余弦定理求得角；
（2）求出三角形面积，由正弦定理化为角的表达式，然后然后由诱导公式，两角和的正弦公式，同角关系式化为 的代数式，再由 角范围得结论．
【详解】（1）选①
由正弦定理得：
在三角形中 得 ，
选②.由正弦定理得：
在三角形中 ，
选③.
在三角形中 ， …………………………………………………5分
（2）由正弦定理 ，
……………………………………………10分
由锐角三角形， ， ，所以
． ……………………………………………………………12分
22．（本小题满分12分）
由两角和差公式我们得到倍角公式 ，实际上 也可以表示为
的三次多项式．
（1）试用 表示 ；
（2）求 的值；
（3）已知方程 在 上有三个根，记为 ， ， ，
求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明；
（2）利用第（1）问的结论对 进行代换得到关于 的方程，解出即可，最后注意检验.
（3）利用（1）中结论得到 ，再得到三根 代入式子化简即可.
【小问1详解】
解：（1）因为，
…………………………………………………………………3分
【小问2详解】
所以 ，
因为 ，
因为 ，
，
即
因为 ，解得 （ 已舍）. ……………………………………6分
【小问3详解】
（3）因 ,故可令 ，
故由 可得:
由（1）得: ，
因 ，故 ，
故 ,或 ,或
即方程 的三个根分别为 ， …………………………………………………9分
又 ，故 ，
于是，
………………………………………………………………………………………12分
【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去求解
