2022-2023学年山东省青岛市崂山实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某商场的货运电梯只限载货，严禁载人根据如图所示的标识、货梯运送货物的质量满足的不等关系是( )
A. B. C. D.
3.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. B.
C. D.
4.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中( )
A. 有一个内角小于 B. 有一个内角大于
C. 每一个内角都小于 D. 每一个内角都大于
5.在平面直角坐标系中，点平移后与原来的位置关于轴对称，则应把点( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向上平移个单位
6.将不等式与的解集表示在同一数轴上正确的是( )
A. B.
C. D.
7.一次智力测验，有道选择题．评分标准是：对题给分，答错或没答每题扣分．小明至少答对几道题，总分才不会低于分．则小明至少答对的题数是( )
A. 道 B. 道 C. 道 D. 道
8.如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，下列结论：；；平分；其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.在中，，若使为等边三角形，请你再添一个条件：______．
10.当时，将，，按从小到大的顺序用“”连接起来：______．
11.一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则不等式的解集为______．
12.若三边长，，满足，则的形状为______．
13.如图，已知，点在上，，点、在边上，，若，则 ______．
14.如图为，，其中，将沿轴依次以，，为旋转中心顺时针旋转．分别得图，图，，则旋转到图时直角顶点的坐标是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是，与关于点对称．
画出；
在直线上，求的最小值______．
16.本小题分
如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使保留作图痕迹．不写作法
17.本小题分
因式分解：
；
．
18.本小题分
解不等式组，并写出它的所有整数解．
19.本小题分
如图，一块是边长为的正方形，两块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的矩形，用这六块图形拼成一个大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解．
20.本小题分
已知，如图，，，点、在上，且．
求证：；
若平分，请直接写出与的位置关系：______．
21.本小题分
某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多元，商城购进台冰箱和台空调刚好花费元．
求每台冰箱与空调的进价分别是多少？
已知冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，现商城准备购进这两种家电共台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？
22.本小题分
如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
求证：；
若，，，求线段的长．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
不等式的解集是______；
求一次函数的函数解析式；
为直线上一点，过点作轴的平行线交于点，当时，求点的坐标．
24.本小题分
如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，设运动时间为．
是______三角形；
当时，如图，周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长和的值；若不存在，请说明理由；
当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据货运电梯限载，即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，找出的取值范围是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
4.【答案】
【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】
【解析】解：点平移后能与原来的位置关于轴对称，
平移后的坐标为，
纵坐标增大，
点是向上平移得到，平移距离为，
故选：．
关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可．
此题主要考查坐标平移的性质，熟练掌握，即可解题．
6.【答案】
【解析】解：由，得：，
由，得：，
表示在数轴上如下：
故选：．
分别求出每一个不等式的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设小明至少答对的题数是道，
，
，
故应为．
故选：．
设小明至少答对的题数是道，答错的为道，根据总分才不会低于分，这个不等量关系可列出不等式求解．
本题考查一元一次不等式的应用．首先要明确题意，找到关键描述语即可解出所求的解．
8.【答案】
【解析】解：过作于，于，设交于，如图：
将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，
，，，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
≌，，，
，
平分，故正确；
，
，，
，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
过作于，于，设交于，根据将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，可证≌，得，判断正确；且有，而，即得，，判断正确；由≌，，，可得，故AF平分，判断正确；，根据勾股定理可判断正确．
本题考查三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是证明≌．
9.【答案】
【解析】解：添加；
为等腰三角形
为等边三角形．
故答案为：．
欲证为等边三角形，已知，再添加两边相等即可．
考查了等边三角形的判定：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；根据判定方法添加条件是解答这类题目常用的方法，要熟练掌握．
10.【答案】
【解析】解：，不妨设，则，，
，
．
故答案为：．
利用设特殊值的方法即可比较大小．
本题考查了有理数大小比较，掌握设特殊值的方法是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
随的增大而减小，且时，，
当时，，即，
不等式的解集为．
故答案为：．
根据一次函数的性质得出随的增大而减小，当时，，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】解：，
，
，
，
或，
当时，，是等腰三角形，
当时，，是直角三角形，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形．
首先根据平方差公式将变形，然后根据三角形分类的方法，判断出的形状即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了含度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
过作垂直于，由等腰三角形三线合一性质得到，求出的长，在直角三角形中，利用度角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由求出的长即可．
【解答】
解：如图，过作，
，，
，
在中，，
，
，
则，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的变化旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键，根据勾股定理列式求出的长度，然后根据图形不难发现，每个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第个图形的直角顶点与第个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
【解答】解：，，，
，
根据图形，每个图形为一个循环组，，
所以，图的直角顶点在轴上，横坐标为，
所以，图的顶点坐标为，
又图的直角顶点与图的直角顶点重合，
图的直角顶点的坐标为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
如图，连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值．
由勾股定理得，，
的最小值为．
故答案为：．
根据中心对称的性质作图即可．
连接，交直线于点，此时取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理计算即可．
本题考查中心对称、轴对称最短路线问题，熟练掌握中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：如图，即为所求．
【解析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
本题考查作图复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
将原式变形，提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
故不等式组的整数解为，，，，．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：拼图如图：
．
从组成看，大长方形的面积由，，，，，组成，大长方形的面积可表示为：；
从整体看，大长方形的边长分别为：和，大长方形的面积可表示为：．
．
【解析】把这六块图形拼成一个大长方形，观察大长方形的边长分别是多少．根据大长方形的面积从组成及整体看可得这个多项式的因式分解．
本题考查因式分解的应用．动手把六块图形拼成一个大长方形是解决本题的关键．
20.【答案】
【解析】证明：，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，理由如下：
≌，
，
，
又平分，
．
故答案为：．
根据证明≌即可推出结论；
根据全等三角形的性质推出三角形是等腰三角形即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，证明≌是解题的关键．
21.【答案】解：设每台冰箱的进价为元，每台空调的进价为元，
由题意得，，
解得，
，
答：每台电冰箱进价为元，每台空调进价为元；
设购进冰箱台，利润为元，由题意可得，
，
购进空调数量不超过冰箱数量的倍，
，解得，
为正整数，，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，
此时元，，
答：当购进冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元．
【解析】设每台冰箱的进价为元，每台空调的进价为元，由题意得，解方程可得答案；
设购进冰箱台，利润为元，则，再根据一次函数的性质可得最大利润．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意列出一次函数的关系式．
22.【答案】证明：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，设，则，，
，
，
，
解得，
．
【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由图象可得时，直线落在直线下方，即，
的解集为．
故答案为：；
把代入，得，
点坐标为，
把，代入，
得，
解得：，
一次函数的函数解析式为；
设，则，
，
在中，令，得，
，
，
，
，
解得：或，
点的坐标为或．
根据函数图象，写出直线落在直线上方所对应的自变量的范围即可；
先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
设，则，可得，由，建立方程求解即可得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量的取值范围；也考查了待定系数法求一次函数解析式．
24.【答案】等边
【解析】解：绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
故答案为：等边；
如图，
在上截取，
和是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
当时，，
此时，即：秒，的最小周长为；
如图，
当时，
，
，
，
，
，
，
秒，
如图，
当时，
，
，
同理可得，
，
秒，
综上所需：秒或秒．
可得出，，从而得出是等边三角形；
在上截取，可证得≌，从而，从而得出，故当时，，进一步得出结果；
当时，可推出，从而，进一步得出结果；当时，同理可得，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
第1页，共1页
