南宁市三美学校2022—2023学年度上学期八年级数学综合练习二
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2022
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的定义即可求得结果．
【详解】解：的绝对值：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查绝对值的定义，熟记绝对值的定义是解题的关键．
2. 下列交通警告标识中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，可以求出答案．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，沿一条直线折叠，直线旁边的两部分能够完全重合的图形是轴对称图形，可以判断C不是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，对概念理解准确是解决本题的关键．
3. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A. 为了了解某一区域内新冠病毒阳性感染者情况，选择抽样调查
B. 为了了解神舟五号飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C. 为了了解某旅游景点全年的游客流量，选择抽样调查
D. 为了了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查
【答案】C
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、为了了解某一区域内新冠病毒阳性感染者情况，事关重大，选择全面调查，故不符合题意；
B、为了了解神舟五号飞船的设备零件的质量情况，事关重大，选择全面调查，故不符合题意；
C、为了了解某旅游景点全年的游客流量，人数较多，选择抽样调查，故符合题意；
D、为了了解一批节能灯的使用寿命，具有破坏性，选择抽样调查，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．
4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【详解】解：关于轴对称，
横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点关于轴对称的点的坐标是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
5. 一个多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 八 B. 九 C. 十 D. 七
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】设多边形有个外角，
由题意得：，
∴，
∴多边形有8个外角，即多边形有八条边，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角的个数与多边形的边数之间的关系，是解题关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式合并同类项、同底数幂乘法及幂的乘方的运算逐一判断即可求解．
【详解】解：A. ，故A不符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C符合题意；
D. ，故D不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了整式合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
C. 平面内，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定，轴对称图形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故A错误，不符合题意；
B、两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，故B错误，不符合题意；
C、平面内，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故C正确，符合题意；
D、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，关键是熟练把握轴对称的定义．
8. 如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（ ）
A. 17 B. 23 C. 25 D. 28
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中线的性质可得，进而根据三角形周长可得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，BD为AC边上的中线，
∴,
，，的周长为20，
,
的周长为．
故选A
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
9. 已知：如图，在中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用SAS得到△BDF与△CED全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD=∠CDE，利用三角形内角和定理及等式性质得到关于α和∠A的关系式．
详解】解：∵，∴，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠EDF=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B，
∵∠B=(180°-∠A)=90°-∠A，
∴∠EDF=α=90°-∠A，
则∠A+2α=180°.
故选：A.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
10. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”
∴x＋9＝2（y 9）；
∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”
∴x 9＝y＋9．
联立两方程组成方程组
．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11. 如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵为的平分线，，，
∴，
∴，
即，
解得,
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12. 如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（ ）
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME=MN，
∴CM+MN=CM+ME=CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，
∴，
∴10CE=6×8，
∴CE=4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，找到使CM+MN最小时的动点M和N是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13. 计算的结果是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根定义直接进行计算化简即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题关键．
14. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算．
15. 已知等腰三角形两边长分别为、．则它的周长是______．
【答案】22
【解析】
【分析】分两种情况，为腰和为腰，结合三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可．
【详解】解：如果等腰三角形三边长分别是、、，此时由于，故能构成三角形，此时三角形的周长为；
如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形．
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答．
16. 如图，在中，已知，垂直于，垂足为点D，，，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得，再利用垂直定义可得，从而求出，然后利用含30度角的直角三角形性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角形性质是解题的关键．
17. 如图，在中，，，，则______度．
【答案】20
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质可得出、，结合、及，即可得出，解之即可解答．
详解】解：∵，，
，
又，，
，
∵，
∴，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，利用三角形外角的性质结合找出是解答本题的关键．
18. 如图，等边的边长为12cm，M，N两点分别从点AB同时出发，沿的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间__________s时，为等腰三角形．
【答案】4或16
【解析】
【分析】注意分类讨论，如图1所示，由题意可知AN=AM，列方程求解即可．如图2所示，首先假设为等腰三角形，可以证明出，可得CM=BN，根据题意列出方程求解即可．
【详解】如图1所示，设点M、N运动x秒后，AN=AM，由题意可知，
AN=12-2x，AM=x，
∴12-2x=x，
解得x=4，
∴点M、N运动4秒后，是等腰三角形；
如图2所示，假设是等腰三角形，
∴AN=AM，AMN=ANM
∴AMC=ANB
④C=B= ，AC=AB
∴（AAS），
∴CM=BN
设点M、N运动y秒后，AN=AM，由题意可知，
∴CM=y-12，NB=36-2y，
∵CM=BN，
∴y-12=36-2y，
解得y=16，故假设成立，
∴当点M、N运动4秒或16秒时，为等腰三角形．
故答案为：4或16．
【点睛】本题主要考查了等边三角形及等腰三角形的性质及判断．注意分类讨论、根据题意理清楚线段之间的数量关系并列出方程求解是解答本题的关键．
三、解答题（共8小题，共66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方、开平方、开立方和去绝对值，后计算加减．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；见解析
【解析】
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，4)、C(4，2)．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）通过平移，使B1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
（3）在△ABC中有一点P(a，b)，则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为_______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）关于y轴对称可知，对应点纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可作出；
（2）由移动到原点O的位置可知，对应点向右平移了3个单位，向下平移了4个单位，由此可作出；
（3）根据两次变换可知，点P先关于y轴对称，再进行平移，即先纵坐标不变，横坐标互为相反数，再向右平移了3个单位，最后向下平移了4个单位，即可得到的坐标．
【详解】
（1）如图所示，即为所作；
（2）如图所示，即为所作；
（3）点关于y轴对称得，
向右平移3个单位，再向下平移4个单位得．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移与轴对称变换，掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40°
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法．
23. 如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
【答案】（1）见解析；（2）105°
【解析】
【分析】（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD；
（2）求出∠BAC＝50°，则求出∠BAD＝75°，可求出答案．
【详解】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．
【点睛】考核知识点：全等三角形的判定和性质.熟记全等三角形的判定是关键.
24. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，进价和售价如表所示，请根据表格信息下列问题．
名称 A种头盔 B种头盔
进价（元/个） 60 40
售价（元/个） 80 50
（1）该商店购进A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各购进了多少个？
（2）经过几天销售后商店发现销量较好，于是又用5400元钱购进这两种头盔若干个，要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元，则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个？
【答案】（1）A种头盔购进30个，B种头盔购进70个
（2）第二次该商店至少批发70个A种头盔
【解析】
【分析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔个．根据题意列出一元一次不等式，则可得解．
【小问1详解】
设A种头盔购进个，种头盔购进个．
根据题意，得，
解得，
答：A种头盔购进30个，种头盔购进70个．
【小问2详解】
设第二次购进A种头盔个，则购进种头盔个．
由题意，得，
解得，
答：第二次该商店至少批发70个A种头盔．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组和不等式的知识解答．
25. 如图1，在等边三角形中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且．
（1）当点E为的中点时，（如图1）则有______（填“”“”或“”）．
（2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若等边的边长为1，E在直线上，点D在直线上，且，求的长．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
（3）的长为1或3
【解析】
【分析】（1）根据三线合一定理和等腰三角形的性质证明即可得到答案；
（2）过E作交于F，只需要证明即可得到答案；
（3）分E在的延长线和E在的延长线上两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵三角形是等边三角形，点E是的中点，
∴平分，，，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
过E作交于F，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
即，
∴是等边三角形．
∴，
∵，
∴，，.
∵，
∴，
∴，.
在和中，
，
∴．
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵三角形是等边三角形，
∴，，
如图所示；当E在的延长线上时，
过点E作交直线于F，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当E在延长线上时，如图过点E作交延长线于F，
∴此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故的长为1或3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由条件可证明，可得，可得；
（2）由条件可知，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论；
（3）过E作于M，的延长线于N．由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点．
【详解】解：（1）如图1，
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
如图2，
证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：延长，过D作于M，的延长线于N，如图所示：
∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．南宁市三美学校2022—2023学年度上学期八年级数学综合练习二
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2022
2. 下列交通警告标识中，不是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A. 为了了解某一区域内新冠病毒阳性感染者情况，选择抽样调查
B. 为了了解神舟五号飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C. 为了了解某旅游景点全年的游客流量，选择抽样调查
D. 为了了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查
4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 一个多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 八 B. 九 C. 十 D. 七
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧
C. 平面内，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
8. 如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（ ）
A 17 B. 23 C. 25 D. 28
9. 已知：如图，在中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（ ）
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13. 计算的结果是__________．
14. 计算结果是______．
15. 已知等腰三角形两边长分别为、．则它的周长是______．
16. 如图，在中，已知，垂直于，垂足为点D，，，则______．
17. 如图，在中，，，，则______度．
18. 如图，等边的边长为12cm，M，N两点分别从点AB同时出发，沿的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间__________s时，为等腰三角形．
三、解答题（共8小题，共66分）
19. 计算：．
20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，4)、C(4，2)．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）通过平移，使B1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
（3）在△ABC中有一点P(a，b)，则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为_______．
22. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
23. 如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
24. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，进价和售价如表所示，请根据表格信息下列问题．
名称 A种头盔 B种头盔
进价（元/个） 60 40
售价（元/个） 80 50
（1）该商店购进A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各购进了多少个？
（2）经过几天销售后商店发现销量较好，于是又用5400元钱购进这两种头盔若干个，要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元，则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个？
25. 如图1，在等边三角形中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且．
（1）当点E为的中点时，（如图1）则有______（填“”“”或“”）．
（2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若等边的边长为1，E在直线上，点D在直线上，且，求的长．
26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
