怀柔区第一中学高三零模数学试题
满分：150分 考试用时：120分钟
一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求。
1．已知集合 A x 3 x 1 ， B 0,1, 2,3, 4 ，则 A B （ ）
A． 3, 4 B． 2,3, 4 C． 0,1 D． 0,1,2
z z 1 2i2．已知复数 满足 ，则其共轭复数 z （ ）
2 i
5 5
A． i B． i C． i D． i
3 3
1
3
3．在 3x
2 的展开式中，常数项是 （ ）
2x
9 9 9 9
A． B． C． D．
4 4 2 2
4x2
4．已知函数 f x 2 ，则对任意实数 x，函数 f x 的值域是 （ ）2x 1
A． 0, 2 B． 0,2 C． 0,2 D． 0,2
5．设m ，n为非零向量, 则“m n < 0 ” 是“存在 0 , 使得m n ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园
林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其
底面积为16 32 5 ，屋顶的体积为 ，算得侧面展开图的圆心角约为
3
（ ）
2 5 4 7
A． B． C． D．
3 6 3 6
7 2 2．圆C的圆心在抛物线 y 2x 上，且圆C过抛物线 y 2x 的焦点，则圆C上的点到
直线 y 1 距离的最小值为 ( )
7 1 1 1
A． B． C． D．
8 2 4 8
1
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8．“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出 18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科
学治污。现有某乡村一条污染河道的蓄水量为 v立方米，每天的进出水量为 k立方米，已知
污染源以每天 r个单位污染河水，某一时段 t（单位：天）河水污染质量指数m(t)（每立方
k
t
米河水所含的污染物）满足m(t) r r m0 e v （m0为初始质量指数），经测算，河道k k
蓄水量是每天进出水量的 50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始
1
时的 ，需要的时间大约是(参考数据： ln 5 1.61， ln 6 1.79 ) ( )
6
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
9．已知函数 f x Asin x ， 0,0 ，
及其导函数的图象如图所示，则函数 f x 的解析式为
（ ）
A． f x 2sin(x ) B． f x 2sin(2x )
3 3
C． f x sin(2x ) D． f x sin(x )
3 6
10．如图, 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中, F 为线段 BC1的中点,
E为线段 A1C1上的动点, 则下列四个结论正确的是 ( )
(A) 存在点 E , 使EF 平面ABCD
(B) 三棱锥 B1 ACE的体积随动点 E变化而变化
(C) 直线 EF 与 AD1所成的角不可能等于30
(D) 存在点 E , 使 EF 平面 AB1C1D
二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分.
f x lg1 2x11．函数 的定义域是
x
x2 y2
12．已知 F1 , F2分别为双曲线C 2 2 1(a 0 b 0) 的左、右焦点, 过 F2作C的两a b
条渐近线的平行线,与渐近线交于M , N 两点.若 MF1N ,则双曲线C的离心率为3
2
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13．甲袋中有 5个红球和 3个白球，乙袋中有 4个红球和 2个白球，如果所有小球只存在颜
色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入
乙袋，分别用 A1、 A2 表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出
两球，用 B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件 B的概率是
a
14 设首项是 1 的数列{a }的前 n项和为 S , 且 a n 1
1 n 2k k N
． n n n
3an 1 1 n 2k 1 k N
则 a4 ＿＿＿＿＿ ; 若 Sm 2024 , 则正整数m的最大值是 ＿＿＿＿＿ .
ax2 2x x 1
15．已知函数 f (x) ax ( a R ). 给出下列四个结论:
x x 1 e
①存在实数 a，使得 f (x)有最大值；
②对任意实数 a，使得 f (x)存在至少两个零点；
③若 a 0，则存在 x0 (1 ) , 使得 f (x0 ) f ( x0 )；
④函数 f (x)的值域不可能是 R .
其中所有正确结论的序号是 ＿＿＿＿＿ .
三、解答题：本题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤。
16．（本小题共 13分）
在① 3 sin AsinC sin AcosC sin B sinC，
② sin2 B sin2 C sin2 A 2sinBsinC，
③ c cos AcosB b cos AcosC
a
2
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在△ABC中，内角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且选择条件________．
（Ⅰ）求角 A；
（Ⅱ）若O是△ABC内一点， AOB 120 ， AOC 135 ， b 1， c 3，求 tan ABO．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；选择第②个条件解答不给分．
3
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17．（本小题共 14分）
三棱台 ABC - A1B1C1中，若 A1A 面 ABC,AB AC,AB AC AA1 2,A1C1 1，
M ,N分别是 BC , BA中点.
（Ⅰ）求证： B1B //平面C1MA；
（Ⅱ）求二面角 A C1M N的正弦值；
（Ⅲ）求点C到平面C1MA的距离．
4
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18．（本小题共 13分）
某学校为了解本学期学生参加公益劳动的
情况，从学校内随机抽取了 500名高中学生进
行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单
位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分
成 [0,2]， (2,4]， (4,6]， (6,8]， (8,10]，
(10,12]， (12,14]， (14,16]， (16,18]九组，
绘制成如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求 a的值；
（Ⅱ）为进一步了解这 500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间
在 (12,14]， (14,16]， (16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10人，
现从这 10人中随机抽取 3人.记参加公益劳动时间在 (14,16]内的学生人数为 X ，
求 X 的分布列和期望；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取 20名学生，
用“ P20 (k) ” 表示这 20名学生中恰有 k 名学生参加公益劳动时间在 (10,12] (单位：小时)
内的概率，其中 k 0,1, 2, , 20 .当 P20 (k)最大时，写出 k 的值.(只需写出结论).
5
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19．（本小题共 15分）
2 2
椭圆C x y 3：
2 1(a b 0)的离心率 为，F1,F2是椭圆的左 右焦点，以F1为圆a b2 2
5 3
心 为半径的圆与以F2为圆心 为半径的圆的交点在椭圆C上.2 2
(Ⅰ)求椭圆C的方程和长轴长；
(Ⅱ)已知直线 y kx 2与椭圆C有两个不同的交点 A， B ， P 为 x轴上一点.是否存
在实数 k，使得△PAB是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k的值及点 P
的坐标；若不存在，说明理由.
6
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20．（本小题共 15分）已知函数 f x 2a x ex2 , a 0且a 1 ．
（Ⅰ）当 a e时，求函数 f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f x 存在两个极值点，不妨设 x1是极小值点， x2是极大值点，
若 x1 x2 ，求实数 a的取值范围.
7
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21．（本小题共 15分）
有 穷 数 列 {an} 共 m(m 3) 项 , 其 各 项 均 为 整 数 , 任 意 两 项 均 不 相 等 .
bi ai ai 1 (i 1 2 m 1) , bi bi 1(i 1 2 m 2) .
(1) 若{an} 0 1 a3 . 求a3的取值范围;
5 4
(2) 若m 5 , 当 ai 取最小值时, 求 bi的最大值;
i 1 i 1
m 1
(3) 若1 ai m(i 1 2 m) , bk m 1 , 求m的所有可能取值.
k 1
8
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