2023学年第二学期第二次素养测试
八年级数学 试题卷
一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式是二次根式的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2﹣=1 B. （﹣）2=2 C. =±11 D. ==3﹣2=1
4. 若关于x一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A 2016 B. 2020 C. 2025 D. 2026
6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 2500（1+x）2＝9100
B. 2500（1+x）（1+2x）＝9100
C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
7. 某工厂生产质量分别为1g，5g，10g，25g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20g，若再放入一个25g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是DE上一点，连接AF和CF，∠AFC＝90°．若DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ② ③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 当时，二次根式的值为______．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，若方差，则队员身高比较整齐的球队是___________队（填“甲”或“乙”）．
14. 用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________．
15. 在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式与代数式值相等，则c的取值范围是______．
16. 平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为______．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 已知，，求下列式子的值：
（1）；
（2）．
20. 某校为了解八年级男生引体向上成绩情况，随机抽测了本校部分引体向上项目的的成绩，并将测试得到的成绩绘制成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中a的值，并补全条形统计图；
（2）在这次抽测中，测试成绩众数是______个，中位数是______个；
（3）该校中八年级男生约有400名，如引体向上达6个以上含6个为优秀，请你估计八年级男生引体向上达到优秀的人数．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的长
22. 近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23. 对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
（1）判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假）
（2）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长．
24. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）在（1）的条件下，若cm，cm，求的长；
（3）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．2023学年第二学期第二次素养测试
八年级数学 试题卷
一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数须是非负数，否则无意义，依次判断．
【详解】解：A、被开方数是非负数，故选项正确；
B、当时，二次根式无意义，故选项错误；
C、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项错误；
D、是三次根式，故选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，理解概念是解题的关键．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键．
【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2﹣=1 B. （﹣）2=2 C. =±11 D. ==3﹣2=1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.
【详解】根据二次根式的加减，可知2﹣=，所以A选项错误；
根据二次根式性质=a（a≥0），可知（﹣）2=2，所以B选项正确；
根据二次根式的性质，可知 =|﹣11|=11，所以C选项错误；
D、根据二次根式的性质，可知==，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】此题主要考查了的二次根式的性质=a（a≥0），，正确利用性质和运算法则计算是解题关键.
4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的取值范围．
【详解】解：∵x2+x-k=0有两个实数根，
∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，
解得：k≥-，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 方程有两个相等的实数根；Δ＜0 方程没有实数根是本题的关键．
5. 若关于一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A. 2016 B. 2020 C. 2025 D. 2026
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b=-1，然后把2021-a-b变形为2021-（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx+5=0得a+b+5=0，
所以a+b=-5，
所以2021-a-b=2021-（a+b）=2021+5=2026．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 2500（1+x）2＝9100
B. 2500（1+x）（1+2x）＝9100
C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【答案】D
【解析】
【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到3600万元，即可列方程．
【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，解题的关键是找等量关系．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1＋x）2=b．
7. 某工厂生产质量分别为1g，5g，10g，25g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20g，若再放入一个25g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，平均数，先根据平均值等于21列出方程，再求出解，检验可得答案．
【详解】根据题意，得
，
解得．
经检验，是原方程的根．
所以，x的值是4．
故选：B．
8. 如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是DE上一点，连接AF和CF，∠AFC＝90°．若DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：在Rt△AFC中，点E是边AC的中点，AC＝6，
∴EF＝AC＝3，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质以及中位线定理，熟知其性质定理是解题的关键．
9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A. 长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
【答案】B
【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论．
【详解】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ② ③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】①先根据角平分线和平行四边形性质得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断.
【详解】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④正确；
正确的有：①②③④，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 当时，二次根式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将代入二次根式，即可计算求值
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，若方差，则队员身高比较整齐的球队是___________队（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵
∴队员身高比较整齐的球队是甲．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查方差，解题的关键在于知道方差的意义．
14. 用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________．
【答案】四边形中所有内角都是锐角．
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．
故答案为四边形中所有内角都是锐角．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15. 在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式与代数式值相等，则c的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据题意可得方程有两个不相等的根，即判别式，即可求解．
【详解】解：由题意得，方程有两个不相等的根，
整理得，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为______．
【答案】或5
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标平移，分两种情况得到点D的坐标，即可求出值．
【详解】解：如图1，点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得点，
∴；
如图2，点向左平移4个单位，再向上平移1个单位得点，
∴；
综上，的值为或5，
故答案为：或5
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），根据乘方分配率计算；对于（2），根据完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据因式分解法求出解；对于（2），根据公式法即可得出方程的解．
【小问1详解】
，
解：因式分解，得，
即或，
∴，；
【小问2详解】
，
解：由，，，
则，
∴，
∴，．
19. 已知，，求下列式子的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算：
（1）先计算，再把变形为，最后整体代入计算即可得到答案；
（2）求出，把变形为，再整体代入计算即可得到答案
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴
20. 某校为了解八年级男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本校部分引体向上项目的的成绩，并将测试得到的成绩绘制成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中a的值，并补全条形统计图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数是______个，中位数是______个；
（3）该校中八年级男生约有400名，如引体向上达6个以上含6个为优秀，请你估计八年级男生引体向上达到优秀的人数．
【答案】（1），图见解析
（2）5，5 （3）180名
【解析】
【分析】本题主要考查众数与中位数的意义．画条形统计图以及用样本估计总体：
（1）用1减去其他个数所占的百分比即可得到a的值，用4个的人数除以所占百分比可求出总人数，再计算出6个的人数可画出条形统计图；
（2）根据众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中引体向上达6个以上含6个的学生所占的百分比，再乘以400即可．
【小问1详解】
解：扇形统计图中，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
，
解得．
条形统计图补充如下：
【小问2详解】
解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共有名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，
故中位数为；
故答案为：5；5；
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计八年级男生引体向上达到优秀的人数有180名．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件易证得，可得，所以，所以可得四边形EGFH是平行四边形；
（2）因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以，因为，且，等量代换可得，所以点为中点，所以且，即可得出EG的长.
【详解】解：（1）四边形为平行四边形，
且，
，
点，分别是，的中点，
，
在与中，
,
四边形是平行四边形.
（2）如图，连接BD交AC于点O，
四边形ABCD为平行四边形，
，
，
，
，
，为中点，
为中点，
且
.
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定综合题型，做题时如果已知有平行四边形要想到该平行四边形的所有性质都可以当做已知条件应用，熟练掌握平行四边形的性质及判定是本题做题关键；涉及到求长度的，如果没有直角，则不考虑勾股定理，只考虑全等或线段的等量代换，有中点的话要想到特殊的中线以及中位线，验证题中是否可转化成这两个结论进行应用.
22. 近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）1600元或1800元
（3）当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元
【解析】
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式即可求解；
（2）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出方程，即可求解；
（3）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出二次函数关系式，求出最大值．
【小问1详解】
解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：根据题意得，
解得：，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
【小问3详解】
解：设利润为，则根据题意得，
∵，
∴有最大值，即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
23. 对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
（1）判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假）
（2）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长．
【答案】（1）假 （2）是，见解析
（3）8
【解析】
【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可；
（2）根据，证得，利用全等三角形的性质，得出，，进而得出，又因为是的中点，所以得出，，再结合题意，得出四边形是奇特四边形；
（3）如图，过作于，证明，设，，可得，利用四边形的面积为16，求解，再进一步可得答案．
【小问1详解】
解：假命题，如图，
∵，，
又∵，
而四边形不是平行四边形．
【小问2详解】
连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是奇特四边形．
【小问3详解】
如图，过作于，
∵，，
∴，
设，，
∴，
∵四边形的面积为16
∴
∴
∴，而，
∴，
∵，
∴，而，
∴；
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理．
24. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）在（1）的条件下，若cm，cm，求的长；
（3）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和等量代换证明即可；
（2）先证明，利用等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，三角形面积的不变性计算即可；
（3）延长至G，使，连结．利用三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，证明即可．
【小问1详解】
证明：∵旋转，
∴，
∵
∴，
∴，
∴D是的中点．
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵
∴，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴．
【小问3详解】
延长至G，使，连结．
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理三线合一性质是解题的关键．
