2024年七年级数学下册第5章《生活中的轴对称》单元测试卷
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·广东佛山·模拟预测）第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年举行，下列图形是本届奥运会运动项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．据此进行分析即可．
【详解】解：A，B， D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．利用轴对称的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，，，与不一定平行，
故A、B、C项一定正确，不符合题意，D项不一定正确，符合题意．
故选：D．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）一张菱形纸片按如图①、图②所示依次对折后，再按如图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的性质，折痕当做对称轴，即可求解．
【详解】按照图中顺序进行操作，展开后圆形小孔应该靠近直角三角形较大锐角，且关于中间折线对称，故只有C选项符合，
故选C．
4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）现有下列结论：①同旁内角相等，两直线平行；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的中线和高都是线段；④三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分；⑤钝角三角形最多有一个锐角．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定，三角形的中线、角平分线、高的性质，
根据平行线的判定方法、三角形的中线、角平分线、高性质判断求解即可．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，不符合题意；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，符合题意；
③三角形的中线和高都是线段，符合题意；
④三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，原说法错误，不符合题意；
⑤钝角三角形有2个锐角，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
5．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在、的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质：对应角相等，根据，结合即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
由折叠可知：．
故选：D．
6．（23-24七年级下·山东聊城·期中）实践活动课上，老师展示了如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．设，根据折叠的性质得，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，据此即可求得．
【详解】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．（23-24七年级下·山西晋中·期中）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（ ）
A．与互余 B．
C．平分 D．与互补
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，补角与余角定义，先由折叠性质得出，结合，即可作答．
【详解】解：如图：
∵折叠
∴
∴平分
∴平分是错误的，
故C选项是错误的，符合题意；
∴
∴与互余，
故A、B选项是正确的，不符合题意；
∵
∴与互补
故D选项是正确的，不符合题意，
故选：C
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是上一点．将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，翻折变换的性质，根据题意得出是解题关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由图形翻折变换的性质得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：在中，，，
，
由折叠而成，
，
是的外角，
．
故选：D
9．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为（ ）．
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质．分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当时，当时两种情况，根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可．
【详解】解：当时，如图1，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，；
当时，如图2，
∴，
由折叠的性质可得，；
∵在上，
∴不存在与平行的情况；
综上所述，或，
故选：A．
10．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，过点作，．先证明≌得，再证明≌得，得为等腰直角三角形，求出，再证明≌得．从而求出．
【详解】取的中点，连接，过点作，．
∵四边形为正方形，
∴，．
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
∵，平分
∴，
∴．
在和中
∴≌
∴
在和中
，
∴≌
∴，
又∵平分，，
∴
∵，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴≌
∴
∴．
故选．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明≌．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2024九年级下·上海·专题练习）正方形、圆、正三角形3种图形的对称轴的条数从多到少排列顺序为 ．
【答案】 圆 正方形 正三角形
【分析】本题主要考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据对称轴的定义结合各图形的特点可得出每个图形的对称轴的数量，然后比较即可解答．
【详解】解：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，正三角形有3条对称轴，
故对称轴的条数从多到少的排列顺序为：圆正方形正三角形．
故答案为：圆正方形正三角形．
12．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件则 ， ．
【答案】 5 70°/度
【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等可得出答案．
【详解】解：根据轴对称的性质可得：，，，，
，．
13．（23-24七年级下·广东广州·开学考试）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点A的对应点为，点C的对应点为，点、、B在同一直线上，若，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵点B，，恰好在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点B落在点的位置．与交于点E．若，，则图中阴影部分的周长 ．
【答案】26
【分析】本题考查了图形的折叠问题及长方形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题．
【详解】证明：∵四边形为长方形，
∴，，
由翻折可得，
∴阴影部分的周长为
，
故答案为：．
15．（2024·福建厦门·模拟预测）有一条长的卷尺．若在刻度4处折叠（如图1所示），折叠后，在重叠部分刻度为2和6的位置用剪刀剪开（如图2所示），可将该卷尺剪成三段．若小桐将该卷尺在刻度30处折叠，并在整数刻度处剪开，她剪下的三段卷尺中的两段，其中一段是另一段的3倍，则剪开处的刻度可以是 ．（写出其中一种即可）
【答案】12和48或25和35或9和51（写出其中任意一组即可）
【分析】设在重叠部分刻度为和的位置用剪刀剪开，则剪下的三段卷尺的长分别为，，，任取两段，根据其中一段是另一段的3倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再取其符合题意的值代入中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设在重叠部分刻度为和的位置用剪刀剪开，则剪下的三段卷尺的长分别为，，
①取 ，，则或，
解得：（不符合题意，舍去）或，
，
剪开处的刻度可以是12和48；
②取，，则或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
③取，，则或，
解得：，，
当时，；
当时，，
剪开处的刻度可以是9和51，25和35．
故答案为：9和51，12和48，25和35（任写一种即可）．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的性质等知识和与折叠有关的角的计算等知识．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意；
【详解】解：，
．
根据折叠的性质得，，
．
故①正确，符合题意；
，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
根据折叠的性质得，，
，
当时，，
故③错误，不符合题意；
，
．
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24七年级下·山西太原·期中）已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点．
求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
结论：
【答案】见解析
【分析】过C点作的垂线即可．此时，则∵，即．本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
【详解】解：如图，为所作．
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？
【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）．
19．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由是角平分线得；由两平行条件及等量代换可得，再由角平分线的定义即可证明结论．
【详解】∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
20．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，点P关于，的对称点分别为C，D，连接，交于点M，交于点N，连接交于点R，连接交于点T，连接，．
(1)若的长为，求的周长；
(2)若，四边形的4个内角之和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得，，可得的周长 ，即可求解；
（2）根据轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，，，可知，进而可知在四边形中，，由三角形内角和定理可知，，得，根据即可求解．
【详解】（1）解：∵点C，D分别是点P关于，的对称点，
∴，．
∵，
∴．
即的周长是．
（2）∵点C，D分别是点P关于，的对称点，
∴垂直平分，垂直平分，
，，
∴．
∵四边形的4个内角之和为，
∴在四边形中，．
∵，
∴，
∴．
21．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图1，定点在纸片内的位置如图所示：
平行可折
按下图所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边平行．
①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕．
（1）说明．
平行可作
（2）在图2中用直尺和圆规过点作直线，使（保留作图的痕迹，不写作法）
等角可折
（3）如图3，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且，请仿照上面“平行可折”的示例，画出示意图并简要描述折叠过程，不需证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）图见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，尺规作图-作角等，掌握折叠前后图象的对应角相等是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和平行线的判定即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（3）先过点折叠纸片，使得点落在上的处，再结合（1）中作平行线的方法折叠即可．
【详解】（1）解：如图：
∵，，
∴，
同理可得，
∴．
（2）解：连接并延长，与交于点，作，则，即．
如图：
（3）解：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕．
②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕．
③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕，即为所求．
22．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，若，请直接写出的度数（用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了折叠的性质：
（1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到；
（2）由计算出，据此即可求出答案；
（3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由折叠的性质知，，
∵，
∴，即；
（2）解：由折叠的性质知，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质知，，
∵，
∴，
∴。
23．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①90；②正确，证明见解析；（2），理由见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）①根据折叠的性质求解即可；
②同①理可得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可；
（2）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解．
【详解】解：（1）①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同①理可得，，
，
；
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
24．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是长方形纸带，将长方形沿折叠成图2，使点C、D分别落在点、处，再沿BF折叠成图3，使点、分别落在点、处．
(1)若，求图1中的度数；
(2)在（1）的条件下，求图2中的度数；
(3)利用图3，说明的理由．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质：
（1）由长方形的性质可得： 可得：，从而可得答案；
（2）由对折的性质先求解： 再利用求解：，再利用，从而可得答案；
（3）设，利用长方形的性质与对折求解：，从而可得、与的数量关系．
【详解】（1）解：∵长方形，
∴，
∴，
∵，
∵，
（2）解：∵四边形折叠得到四边形，
∴，
∴，
∵长方形，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）解：∵长方形，
∴，
∴，，，
设，
∴，，
∵四边形折叠得到四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形折叠得到四边形，
∴，
，
，
∴，
∴.
25．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内．
【任务】
(1)在图1中，若，求的度数；
(2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数；
(3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或，理由详见解析．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，可得，即可求解；
（2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解；
②分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：由折叠性质可知：，
，
，
；
（2）解：由折叠性质可知：，，
，
，
即；
（3）解： ，，之间的数量关系为：
或．
理由：由折叠性质可知：，，
①当点在点的左侧时，如图3，
，
，
；
②当点在点的右侧时，如图4，
，
，
，
综上所述，，，之间的数量关系为：
或．
()
2024年七年级数学下册第5章《生活中的轴对称》单元测试卷
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·广东佛山·模拟预测）第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年举行，下列图形是本届奥运会运动项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）一张菱形纸片按如图①、图②所示依次对折后，再按如图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）现有下列结论：①同旁内角相等，两直线平行；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的中线和高都是线段；④三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分；⑤钝角三角形最多有一个锐角．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在、的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·山东聊城·期中）实践活动课上，老师展示了如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·山西晋中·期中）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（ ）
A．与互余 B．
C．平分 D．与互补
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是上一点．将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为（ ）．
A．或 B． C． D．或
10．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2024九年级下·上海·专题练习）正方形、圆、正三角形3种图形的对称轴的条数从多到少排列顺序为 ．
12．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件则 ， ．
13．（23-24七年级下·广东广州·开学考试）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点A的对应点为，点C的对应点为，点、、B在同一直线上，若，则的度数为 ．
14．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点B落在点的位置．与交于点E．若，，则图中阴影部分的周长 ．
15．（2024·福建厦门·模拟预测）有一条长的卷尺．若在刻度4处折叠（如图1所示），折叠后，在重叠部分刻度为2和6的位置用剪刀剪开（如图2所示），可将该卷尺剪成三段．若小桐将该卷尺在刻度30处折叠，并在整数刻度处剪开，她剪下的三段卷尺中的两段，其中一段是另一段的3倍，则剪开处的刻度可以是 ．（写出其中一种即可）
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24七年级下·山西太原·期中）已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点．
求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
结论：
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？
19．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分．
20．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，点P关于，的对称点分别为C，D，连接，交于点M，交于点N，连接交于点R，连接交于点T，连接，．
(1)若的长为，求的周长；
(2)若，四边形的4个内角之和为，求．
21．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图1，定点在纸片内的位置如图所示：
平行可折
按下图所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边平行．
①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕．
（1）说明．
平行可作
（2）在图2中用直尺和圆规过点作直线，使（保留作图的痕迹，不写作法）
等角可折
（3）如图3，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且，请仿照上面“平行可折”的示例，画出示意图并简要描述折叠过程，不需证明．
22．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，若，请直接写出的度数（用含a的式子表示）．
23．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
24．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是长方形纸带，将长方形沿折叠成图2，使点C、D分别落在点、处，再沿BF折叠成图3，使点、分别落在点、处．
(1)若，求图1中的度数；
(2)在（1）的条件下，求图2中的度数；
(3)利用图3，说明的理由．
25．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内．
【任务】
(1)在图1中，若，求的度数；
(2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数；
(3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
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