浙教版数学七年级下册期末练习卷
一、选择题
1．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．x2﹣2y＝3 B． C．x+y＝3 D．x+2y＝3z
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”．其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4．某班同学参加课外兴趣小组情况的统计图如图所示， 如果参加人数最多的课外兴趣小组比参加人数最少的多 20 人 (每个人只参加一个课外兴趣小组)， 那么该班级一共参加兴趣小组的学生人数是( )
A．40 B．36 C．32 D．30
5．将分式 中的 都扩大为原来的 2 倍， 则分式的值( )
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的 2 倍
C．扩大为原来的 4 倍 D．不变
6．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
8．数学小故事：在一个小山上，有两只猴子在做游戏，其中一只猴子对另一只猴子说：“如果每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住；如果每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞”．你能帮他们算出该小山有多少个山洞，多少只猴？设山洞x个、猴子y只，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C．α+β=γ D．
二、填空题
11．因式分解： .
12． 已知一个样本有 40 个数据， 把它分成 5 组， 第一组到第四组的频数分别是 10，4 ， ，第五组的频率是 0.1 ， 则
13．若，，则的值为 ．
14．“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需 元.
15． 对于非零的两个实数 ， 规定 ， 若 ， 则
16．某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装款式 包装的重量（吨） 含I号新产品的重量（吨） 含II号产品的重量（吨）
A款 6 3 3
B款 5 3 2
C款 5 2 3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为 ；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为 ．（写出一种即可）
三、解答题
17．解方程（组）：
（1）
（2）
18．北京冬奥会后， 为了大力推进冰雪运动的普及与发展， 各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力． 重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查， 调查结果分为“冰球”“短道速滑”“花样滑冰”“自由式滑雪”和“其他”五类． 根据调查结果绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查随机从该小区抽取了 名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形圆心角为
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该小区 3000 人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰(写出必要的计算过程)．
19．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得，试求的值.
20．如图，正方形纸板的边长为，正方形纸板的边长为，用一块纸板、一块纸板和两块长方形纸板可以拼成一个大正方形．
（1）图2大正方形的边长为 ；由图1到图2，可以得到一个关于的等式，直接写出这个等式： ；
（2）利用这个等式解决如下问题：长方形纸板的周长为12，正方形和正方形的面积之和为26，求长方形纸板的面积．
21．如图，平分．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
22．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与．
素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2.6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！
素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
23． 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1， ，点、分别在射线和上，．
（1）若，则= 度；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数；
（2）小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由；
（3）如图3，把“”改为“” （），其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、x的次数为2次，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
B、为分式，方程是分式方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，且未知数项的次数是一次，方程的两边都是整式，是二元一次方程，故此选项符合题意；
D、含有3个未知数，是三元一次方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】含有两个未知数，且未知数项的次数是一次，方程的两边都是整式的方程，就是二元一次方程，据此逐项判断得出答案.
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：，
即该班级一共参加兴趣小组的学生人数是40人.
故答案为：A.
【分析】根据扇形统计图，可计算出该班级一共参加兴趣小组的学生人数.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴分式的值不变.
故答案为：D.
【分析】用2x与2y分别替换原题中的x与y，计算后，约分化简，进而与原式比较可得答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：①；
②；
③；
④不能分解因式；
其中含因式的多项式为：①②③，共3个，
故答案为：C.
【分析】先分解因式，再进行判断即可．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，
∴∠AKG=∠XKG=50°．
∵∠CKG是△KMG的外角，
∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°．
∵∠KMG与∠FMD是对顶角，
∴∠FMD=∠KMG=20°．
故选B．
【分析】先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
8．【答案】A
【解析】【解答】解： 设山洞x个、猴子y只，
依题有： .
故答案为：A.
【分析】设山洞x个、猴子y只，根据如果每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住，可得6x+5=y， 每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞 ，可得7（x-1）=y，据此即可得到答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：先将将分子分母同时除x2，
可得，
代入，
可得.
故答案为：B.
【分析】将分子分母同时除x2，得到，再将整体代入即可求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：作三条平行线，如图，
根据题意得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），
由平行的性质得，∠2=∠1，∠4=∠3，
∴ γ=∠2+∠4=∠1+∠3=(90°-α)+(90°-β），
∴(α+β）=135°-γ.
故答案为：B.
【分析】作三条平行线，根据题意中的光的折射原理可得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），再根据平行线的性质得∠2=∠1，∠4=∠3，即可求得.
11．【答案】a(a+3)(a-3)
【解析】【解答】原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3).
故答案为a(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解即可.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：第5组的频数为：40×0.1=4，
∴x=40-10-4-16-4=6.
故答案为：6.
【分析】根据频率=可求出第5组的频数，再根据频数之和等于样本容量进行计算即可.
13．【答案】
14．【答案】800
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴，解得.
经检验，两个根均正确，无增根.
故答案为：.
【分析】按新定义的运算规则运算后得出分式方程，通分、去分母后解一元二次方程即可.
16．【答案】（1）3，1，1
（2）1，1，3
【解析】【解答】解：（1）设装运方案中 A款、B款、C款的个数依次为 x、y、z，根据题意，得：，解方程组得，由题意知x，y，z均为整数，且每种款式至少有1个，所以y=1，z=1。
故第1空答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中 A款、B款、C款的个数依次为 a、b、c，根据题意得：，解得a≤3，又 装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多 ，所以，当a=1，b=1，c=3时，3a+3b+2c=12＜13，3a+2b+3c=14＞13，且13+14=27＜28，故a=1，b=1，c=3符合题目要求。
故第一空答案为：1，1，3.
【分析】（1）设装运方案中 A款、B款、C款的个数依次为 x、y、z，根据题意，得：，把（y+z）看成一个整体，可求得x和（y+z）的值，根据x，y，z均为整数，且最小值为1，可得答案；
（2）设装运方案中 A款、B款、C款的个数依次为 a、b、c，根据题意得：和，根据，把（b+c）看成整体，可求得a≤3，根据a，bc，的整数性质，结合不等式组可得答案。
17．【答案】（1）解：
①+②得：，
解得：，
把代入①得：，解得：；
∴原方程组的解为；
（2）解：
，
经检验：当时，，
∴原方程的解为．
【解析】【分析】（1）将两个方程相加可求出x的值，将x的值代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）给方程两边同时乘以(x-2)，得1-x-x+2=-x-3，求出x的值，然后进行检验即可.
18．【答案】（1）200；72°
（2）解：最喜欢“花样滑冰”的人数有200－40－80－20－10=50（人），
故条形统计图如下：
（3）解：（人）
答： 该小区 3000 人中约有750人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰.
【解析】【解答】解：（1）最喜欢“短道速滑"的人数有80人，占总数的40%，故80÷40%=200（人）；
扇形统计图中“冰球”对应的扇形圆心角为.
故答案为：200；72°.
【分析】（1）用最喜欢“短道速滑"的人数÷所占百分比即可得到总人数；用360°×最喜欢“冰球”人数的占比可得对应圆心角的度数；
（2）用总人数－其他各组已知的人数可得最喜欢“花样滑冰”的人数，即可得到完整的条形统计图；
（3）用3000×最喜欢“花样滑冰”人数的占比即可得到大概人数.
19．【答案】解：2
【解析】【解答】将代入②，可得：8=b-2，解得：b=10；
将代入①，可得：5a+20=15，解得：a=-1，
∴，
故答案为：2.
【分析】先利用二元一次方程组的解求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可.
20．【答案】（1）a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：∵ 长方形纸板C的周长为12 ，长为a，宽为b，
∴a+b=6，
∵ 正方形A和正方形B的面积之和为26，
∴a2+b2=26，
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=36-26=10，
∴ab=5，即长方形纸板C的面积为5.
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，大正方形的边长为a+b，
大正方形的面积为(a+b)2，组成大正方形的4个部分面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为：a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）由拼图可知，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积为(a+b)2，组成大正方形的4个部分面积和为a2+2ab+b2，根据两种算法表示的是同一个图形的面积可得等式；
（2）由题意易得a+b=6，a2+b2=26，根据（1）所得等式可得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，从而整体代入计算可得ab的值.
21．【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠AEC，
∴∠BAE＝∠AEC，
∴AB∥CD.
（2）解：设∠F＝x，则∠BAC＝4∠F＝4x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝2x，
∵CD∥GF，
∴∠FED＝∠F＝x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEF＋∠FED＝180°，即2x＋90°+x=180°，
∴x＝30°，
∴∠FED＝30°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE=∠CAE，结合已知推得∠BAE=∠CEA，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）设∠F＝x，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE＝2x，根据两直线平行，内错角相等可得∠FED＝∠F＝x，根据两直线平行，同旁内角互补可列出方程，解方程即可求解.
22．【答案】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得：
，
解得：，
，，
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；
任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根；
∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：
（元）；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得：
，
解得：，
∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
∴，
解得：，
∵m必须能被3整除，
∴，，264，267，
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买258根长管子，2130根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买261根长管子，2125根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴购买264根长管子，2120根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买267根长管子，2115根短管子；
∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
∴长管子数越多制作的雪花模型越多，
∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【解析】【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据6根长管子和48根短管子列出二元一次方程组，解方程，即可求得；
任务二：根据学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，列出分式方程，求解并检验后，由制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，再根据6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，即可求得；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据购买m根长管子的费用+购买根短管子的费用=1280，列出方程，可得，再根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求解可得，，264，267，分别计算出n的值，再比较雪花模型，即可求得.
23．【答案】（1）60
（2）解：如图2，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值，该定值为 ；
（3）解：的值始终为定值，该定值为；如图4，
过点作，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值，该定值为；
【解析】【解答】解：（1）∵∠FAB=150°，
∴∠EAB=180°-∠FAB=30°，
过点F作FG∥AB，
∴∠EAB=∠EFG=30°，
∵∠EFH=90°，
∴∠HFG=90°-∠EFG=60°，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠HCD=∠HFG=60°；
故答案为：60；
【分析】（1）先由邻补角算出∠EAB=30°，过点F作FG∥AB，由二直线平行，同位角相等，得∠EAB=∠EFG=30°，由角的和差得∠HFG=90°-∠EFG=60°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得FG∥CD，由二直线平行，同位角相等，得∠HCD=∠HFG=60°；
（2）由二直线平行，同旁内角互补，可得∠FAM=180°-∠EFH=90°，由二直线平行，内错角相等，得∠AMC=∠HCD=∠BAM，从而根据角的和差、等量代换及角的构成可求出∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°，得出结论；
（3）由二直线平行，同旁内角互补，可得∠FAN=180°-∠EFH=180°-，由二直线平行，内错角相等，得∠ANC=∠HCD=∠BAN，从而根据角的和差、等量代换及角的构成可求出∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-，得出结论.
