4.5.3 函数模型的应用——高一数学人教A版（2019）必修第一册课时优化训练
1.推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )
（参考数据：，，）
A.2033年 B.2034年 C.2035年 D.2036年
2.设在海拔处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系为，其中c，k为常量.已知海平面处的大气压强为，在高空处的大气压强为，则在高空处的大气压强约为(参考数据：)( )
A. B. C. D.
3.锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为，其中Q（单位）为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得，相关统计学参数，且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为，经实验采集数据进行拟合后获得，相关统计学参数，且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为，存放16天后，电容量损失量约为( )
（参考数据为：）
A.100.32 B.101.32 C.105.04 D.150.56
4.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过后的温度为y，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是( )（参考数据：）
A. B. C.6min D.
5.有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A. B.
C. D.
6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于( )
参考数据：.
参考时间轴：
A.宋 B.唐 C.汉 D.战国
7.（多选）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气中的温度是℃，那么t分钟后物体的温度.其中k是一个常数.现有60℃的物体，放在12℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是36℃，若，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.若，则℃ D.若℃，则
8.（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采用新工艺，将二氧化碳转化为一种可利用的化学品.已知该单位每月的处理量最少为，最多为，月处理成本y（元）与月处理量x（t）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理二氧化碳得到的化学品价值为100元.以下判断正确的是( )
A.该单位每月的处理量为时，才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20000元
C.该单位每月不获利，也不亏损
D.需要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏损
10.某种药在病人血液中的含量不低于时，才能起到有效的治疗作用，已知一次服用，个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（g）随着时间x（h）变化的函数关系式近似为，其中
（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达_________h；
（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，后再服用n个单位的药剂，要使接下来的中能够持续有效治疗，则n的最小值为_________.
11.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的.
①当时，顾客一次购买草苺和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________.
12.近几年由于北京房价的上涨，二手房市场交易火爆.房子几乎没有变化，但价格却上涨了.小张在2010年以80万元的价格购得一套新房，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是__________.
13.为了响应国家节能减排的号召，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x（单位：百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）请写出2020年的利润（单位：万元）关于年产量x（单位：百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大 并求出最大利润.
14.某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 4 14 36 28 5 3
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求这种酸奶一天的需求量不超过500瓶的概率的估计值；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，利润y是多少
15.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足，.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为(单位：万元).
（1）求的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入最大？
答案以及解析
1.答案：C
解析：设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得，即，则，，又，则．所以所求年份大约是2035年．故选：C.
2.答案：A
解析：依题意得，，因此，
因此当时，，
故选：A.
3.答案：C
解析：根据题意，可得，，，代入，可得，因为该品牌电池初始荷电状 ，
所以存放16天后，电容量损失量，故选：C.
4.答案：B
解析：由题可知，函数，令，则，
两边同时取对可得：，即，即.故选：B.
5.答案：C
解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.
6.答案：D
解析：设文物原有的碳14含量为1.依题意，当时，，而P与死亡年数t之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，.当时，，于是得，解得，由2021-2得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选D.
7.答案：ACD
解析：根据题意：，解得，，故选项A正确，选项B错误.若，则，则成立，故选项C正确.若，则，，又，则，，，故选项D正确.故选：ACD.
8.答案：ACD
解析：由，对于燃油汽车，即，，即；同理，对于混合动力汽车；对于电动汽车，则，，，选项C正确.，选项A正确.，则，选项B错误.，则，选项D正确.故选ACD.
9.答案：AD
解析：由题意可知，每吨二氧化碳的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，故该单位每月的处理量为时，才能使每吨的平均处理成本最低，为200元，故A正确；设该单位每月获利为S元，则，因为，所以，故需要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏损，故D正确，B，C错误.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以
当时，；当时，令，解得.
综上，若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达.
（2）因为，所以此时，，所以有效治疗时间为，因为在后再服用n个单位的药剂，所以，所以，由题意得对任意恒成立，所以对任意恒成立.设，，的图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，所以在上单调递增，所以，故，所以n的最小值为.
11.答案：①130
②15
解析：①时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共140元，由题可知顾客需支付元.
②设每笔订单金额为m元，则只需考虑时的情况.
根据题意，得，所以，
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则，而，所以，所以.所以x的最大值为15.
12.答案：
解析：这套房子一年后的价格为.
这套房子两年后的价格为，…，
由此可推得2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.
13.答案：（1）
（2）当生产100百辆时，利润最大，为1600万元.
解析：（1）由题知，当时，
，
当时，
，
综上：；
（2）由（1）知，
当时，，
所以当时，，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.
14.答案：（1）0.6；
（2）当时，利润；当时，利润
解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过500瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过500瓶的概率的估计值为0.6；
（2）由题意得，
①当时，利润；
②时，利润.
15.答案：（1）277.5；
（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大.
解析：（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以.
（2）由题知，
，
依题意得
解得，
故.
令，则，，
，
当，即时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元.
