2023-2024学年第二学期期中教学质量检测
八年级数学试卷（R）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 若是二次根式，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确是（ ）
A B.
C. D.
3. 如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A. 110° B. 35° C. 70° D. 55°
4. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为( )
A. B. 3 C. D. 5
6. 若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点在平行四边形内，连接、、、，其中与对角线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O, N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3, P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM-PN值为( )
A 1 B. C. 2 D.
二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分．）
13. 实数在数轴上的位置如图所示，化简=_____．
14. 已知：，则的值为______．
15. 如图所示，是用4个全等直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有______________
16. 在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为_____．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF．求证：AE＝CF．
19. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
20. 如图，在中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．
21. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22. 已知：如图所示，在中，D是的中点，E是线段的延长线上一点，过点A作，交线段的延长线于点F，连接、．
（1）求证：．
（2）若，，则四边形的面积是 ．
23. 如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．
（1）为何值时，四边形为矩形？
（2）为何值时，四边形为平行四边形？
24. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．2023-2024学年第二学期期中教学质量检测
八年级数学试卷（R）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 若是二次根式，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】解：，，，，，
，，，
错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
3. 如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A. 110° B. 35° C. 70° D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断即可求解．
【详解】解：A、原式＝，所以A选项错误，不符合题意；
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误，不符合题意；
C、原式＝，所以C选项正确，符合题意；
D、原式＝，所以D选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，二次根式的加减先把二次根式化为最简二次根式，然后对被开方数相同的二次根式加减即可．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
5. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为( )
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故选：B.
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
6. 若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
7. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
在中，
．
故选：A．
【点睛】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键．
8. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，点在平行四边形内，连接、、、，其中与对角线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出的面积的面积的面积，得出的面积的面积的面积的面积的面积，即可得出结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，
的面积的面积平行四边形的面积，的面积平行四边形的面积，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
即；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质，得出的面积的面积的面积是解决问题的关键．
11. 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．
12. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O, N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3, P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM-PN值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，PM-PN'= MN'，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=1,即PM-PN=1.
【详解】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，PM-PN'= MN'，
∵正方形边长为4，
∴AC=AB=4，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=2，
∵N为OA中点，
∴ON=，
∴ON'=CN'=，
∴AN'=3，
∵BM=3，
∴CM=AB-BM=4-3=1，
∴
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，
∵∠N'CM=45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM=MN'=1，
即PM-PN=1，
故选A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分．）
13. 实数在数轴上的位置如图所示，化简=_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用实数与数轴的关系判断的符号，再根据二次根式的性质化简即可得到答案．
【详解】解：由图可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，根据实数与数轴的关系判断的符号是解题关键．
14. 已知：，则的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故答案为：5．
15. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有______________
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；利用小正方形的边长与直角三角形的边长之间的关系可判断②正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断③正确；根据①③可知x+y=即可判断④不正确.
【详解】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项①正确；
②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故选项②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项③正确；
④因为（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，所以x+y=，故此选项不正确．
故答案为①②③.
【点睛】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识，能灵活运用勾股定理是解题关键.
16. 在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP=EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP=EF=2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．
【详解】解：连接AP，
∵AB2+AC2＝169，BC2＝169
∴AB2+AC2＝BC2
∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形
∴AP＝EF，∠EPF＝90°
又∵M是EF的中点
∴PM＝EF
∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．
根据 垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小
此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP
∴AP＝
∴EF＝
∴PM＝
故答案为
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF=AP
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF．求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，再根据SAS证明即可．
【详解】证明：在平行四边形中
AB＝CD，∠B＝∠D，
又∵BE＝FD，
∴（SAS），
∴AE＝CF
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【答案】有危险，需要暂时封锁；理由见解析．
【解析】
【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】解：有危险，需要暂时封锁．
理由：如图，过作于，
米，米，，
∴在中，米，
∵，
∴米．
∵，
∴有危险，段公路需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长．
20. 如图，在中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证四边形是平行四边形，再证，得，于是是菱形．
【详解】证明：中，,
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定；掌握菱形的判定方法是解题的关键．
21. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论；
（2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可．
【小问1详解】
解：连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵D是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
在中
∴，
解得：
∴．
22. 已知：如图所示，在中，D是的中点，E是线段的延长线上一点，过点A作，交线段的延长线于点F，连接、．
（1）求证：．
（2）若，，则四边形的面积是 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）易知，即可证明，得，又因为，即证明四边形是平行四边形，即可作答；
（2）易证明四边形为菱形，得，，又因为，得，由勾股定理得，即，那么四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵D点为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形为平行四边形，且，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形面积．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质运判定，平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23. 如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．
（1）为何值时，四边形为矩形？
（2）为何值时，四边形为平行四边形？
【答案】（1）当秒时，四边形为矩形
（2）当秒时，四边形为平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据，矩形的判定和性质，得，求出，即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质，得，求出，即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
当时，四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为矩形，
∵动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴当秒时，四边形为矩形．
【小问2详解】
∵，
∴，
当时，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
∴当秒时，四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质．
24. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
【答案】【猜想】CD= BC- CF，理由见解析；【探究】CF= BC+ CD，理由见解析；【应用】
【解析】
【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论；
【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论；
【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论．
【详解】解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC,
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF,
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题．
