八年级数学（北师大版）
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若，则下列不等式中正确是（ ）
A B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A. 65° B. 80° C. 50°或65° D. 50°或80°
4. 如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为（ ）
A 2 B. 5 C. 3 D. 7
5. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x题，可得式子为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 方程组的解满足不等式，则m的范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知和关于原点对称，则______．
12. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折．
13. 如图，在中，，，若的面积为6，则到的距离为______．
14. 如图，在中，，，，点P是在内一点，连接，，，将绕点A逆时针旋转得到．若点C，P，，恰好在同一直线上，则__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来：．
16 如图，于，于，若，求证：平分．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，BD平分，，垂足为点D，．求证：是等腰三角形．
18. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）画出向左4个单位，再向下平移4个单位长度得到的．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.
20. 已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）当时，求x，y的值；
（2）当时，求a的取值范围．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在中，，请根据要求完成以下任务：
（1）利用直尺与圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；
（2）利用直尺与圆规，作的角平分线，交于点；
（3）若，求的度数．
七、（本题满分12分）
22. 某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示：
甲种饮料 乙种饮料
进价/（元）
售价/（元）
（1）若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式；
（2）若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500 元，求超市能够获得的最大利润．
八、（本题满分14分）
23. 在中，．
（1）特例证明：如图1，点D，E分别线段上，，求证：；
（2）探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，，，求线段的长（直接写出答案）．八年级数学（北师大版）
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，涉及平方性质等知识，根据不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由不等式的性质可知，当时，则，不等关系正确，符合题意；
B、由不等式的性质可知，当时，则，原不等关系不成立，不符合题意；
C、由不等式的性质可知，当时，则，原不等关系不一定成立，不符合题意；
D、由不等式性质可知，当，且时，则，原不等关系不一定成立，不符合题意；
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质，解题的关键是掌握判断方法，轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
3. 等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A 65° B. 80° C. 50°或65° D. 50°或80°
【答案】A
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求出底角．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴它的底角是：．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形两个底角相等．
4. 如图，在中，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为（ ）
A. 2 B. 5 C. 3 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，判定为等边三角形是解题的关键．
根据平移的性质得，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的长即可．
【详解】解：∵将沿射线的方向平移2个单位后，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选B．
5. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与不等式的关系，解答该题的关键 是根据函数图象找出满足不等式组的解集问题．根据图象，当时，直线在轴的下方，且在直线的上方，据此即可求得不等式的解集为点与点之间的横坐标的范围．
【详解】解：，，
观察图象，不等式的解集为，
故选：B．
6. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转性质得，结合，得到，，，结合旋转性质，三角形内角和定理计算即可，本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】根据旋转性质得，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x题，可得式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理清等量关系、正确的列出不等式是解题的关键．
设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可．
【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故选D．
8. 在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解： 、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴设，，，
∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴设，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，该选项符合题意；
故选：．
9. 方程组的解满足不等式，则m的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组以及求方程的参数，先观察方程组与不等式的特征，由方程组进行，表达出的代数值，代入，得的代数值，再代入，即可作答．
【详解】解：∵
∴得。
∴
把代入，得，即
∴把，代入
得
解得
故选：C
10. 不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由不等式组整数解的情况求参数，涉及解含参数不等式组、不等式组的整数解等知识，根据题意，求出不等式组的解集为，再由不等式组整数解的情况求出或，由不等式的性质分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握由不等式组整数解的情况求参数的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解的和为7，
或，
当时，解得，则整数的值有共3个；
当时，解得，则整数的值有共3个；
综上所述，满足题意整数的值有个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知和关于原点对称，则______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求出的值，相加即可；
【详解】解：和关于原点对称，
则，
；
故答案为：-1
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标变化规律，解题关键是求出的值．
12. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折．
【答案】7##七
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该商品打x折出售，根据利润实际售价进价列出不等式求解即可．
【详解】解：设该商品打x折出售，
由题意得，，
解得，
∴至多可以打7折，
故答案为：7．
13. 如图，在中，，，若的面积为6，则到的距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质，过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，从而根据的面积列方程求解即可得到答案，熟记角平分线性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，，如图所示：
，
，
，
，
的面积为6，
，即，解得，
故答案为：2．
14. 如图，在中，，，，点P是在内一点，连接，，，将绕点A逆时针旋转得到．若点C，P，，恰好在同一直线上，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交直线于点，利用旋转的性质得，再证明，根据含直角三角形的性质及勾股定理求出的长，然后在中，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：过点作交直线于点，
在中，，，
，，
将绕点A逆时针旋转得到，
∴，是等边三角形，
∴，
，
，
在中，，
，
，
若点C，P，，恰好在同一直线上，
在中，．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加正确的辅助线是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来：．
【答案】，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查了解不等式以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去分母，再移项，最后系数化1，解出不等式的解集，再在数轴上表示，即可作答．
【详解】解：，
，
，
，
.
在数轴上表示如图所示.
16. 如图，于，于，若，求证：平分．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线的判定，涉及直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定等知识，先由垂直定义得到，再由直角三角形全等的判定得到，根据全等三角形性质得到，再由角平分线的判定即可得到答案，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
∴平分．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，BD平分，，垂足为点D，．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据等腰三角形的判定定理证得结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、等角的余角相等，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解答的关键．
18. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）画出向左4个单位，再向下平移4个单位长度得到的．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查对称的性质和平移的性质，
根据关于x轴对称的性质先找到点对称，顺次连接即可求得对称图形；
根据平移的性质先画出向左4个单位的点，再找到向下平移4个单位的点，连接即可．
【小问1详解】
解：见下图；
【小问2详解】
如图，
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）78°
【解析】
【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．
20. 已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）当时，求x，y的值；
（2）当时，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式．
（1）将代入二元一次方程组，用消元法解二元一次方程组即可；
（2）解方程组得出，根据得出关于a的不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
由①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解集为：
【小问2详解】
由得，，
，
，
解得．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在中，，请根据要求完成以下任务：
（1）利用直尺与圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；
（2）利用直尺与圆规，作的角平分线，交于点；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分别以为圆心，适当长度为半径画弧，过弧交点作直线交交于点，连接即可得到答案；
（2）以为圆心，适当长度为半径画弧，交边上两点，再以这两点为圆心、相同长度为半径画弧交于一点，连接点与弧交点作射线交于点即可得到答案；
（3）由（1）（2）尺规作图可知垂直平分线段，由中垂线性质，结合题中条件得到，再由等腰三角形性质及三角形外角性质求出，最后由平分即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：
即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：
射线即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示：
∵垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
∵平分，
．
【点睛】本题考查尺规作图综合，涉及尺规作图-作中垂线、尺规作图-作角平分线、中垂线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线定义等知识，熟练掌握尺规作图-作中垂线、尺规作图-作角平分线是解决问题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示：
甲种饮料 乙种饮料
进价/（元）
售价/（元）
（1）若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式；
（2）若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500 元，求超市能够获得的最大利润．
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据表格数据，列出函数关系式即可求解；
（2）根据题意列出表达式得出，进而设甲乙两种饮料的总利润为元，根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，，
即；
【小问2详解】
解：由（1）可得，
解得：，
设甲乙两种饮料的总利润为元，根据题意得，
，
∵
∴随的增大而增大
∴当时，取的最大值，最大值为，
答：超市能够获得的最大利润为元．
八、（本题满分14分）
23. 在中，．
（1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段上，，求证：；
（2）探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，，，求线段的长（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析
（2）成立，理由见解析
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据题意利用平行线性质及等腰三角形性质即可得到，继而得到本题答案；
（2）利用旋转性质再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案；
（3）根据题意把线段绕点C逆时针旋转至，连接，证明，再利用勾股定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：证明：，
∴，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：成立，理由如下：
证明：由旋转可知，，
，
，
；
【小问3详解】
解：，理由如下：
把线段绕点C逆时针旋转至，连接，
则，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题考查等腰三角形性质及判定，平行线判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，旋转性质．综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
