第九章 统计全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版（2019）】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高一下·天津·期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同；
B．有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为；
C．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲；
D．一组数，，，，，，，，，的分位数为．
2．（5分）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．01 B．02 C．14 D．19
3．（5分）（2024高三·全国·专题练习）2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表：
参加志愿者的天数
人数 10 70 20
若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（5分）（2024·陕西西安·模拟预测）国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（ ）
A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元
D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
5．（5分）（22-23高一下·云南昆明·期末）二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽取的坦克编号从小到大依次为，假设坦克的月生产量为，将区间分成个小区间：，，……，，，统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.若抽取的某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，则的估计值为（ ）
A．236 B．253 C．360 D．420
6．（5分）（2023·天津北辰·三模）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人
7．（5分）（2024·河南郑州·一模）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多
8．（5分）（23-24高三·云南昆明·阶段练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数；
②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2024·湖北·模拟预测）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有15人吸烟 B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟 D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
10．（5分）（2023·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ）
A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C．派遣的老年教师有144人
D．派遣的青年女教师有15人
11．（5分）（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
12．（5分）（23-24高一下·广西·开学考试）某班语文老师对该班甲 乙 丙 丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为3，众数为5；
乙：中位数为4，极差为3；
丙：中位数为4，平均数为3；
丁：平均数为3，方差为3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为 .
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
14．（5分）（22-23高一下·新疆喀什·期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件.
15．（5分）（23-24高二·广西贵港·期中）已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为 ．
16．（5分）（23-24高三上·上海宝山·期末）在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是 .（写出所有正确选项）
①新数据的极差可能等于原数据的极差.
②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.
③若，则新数据的方差一定大于原数据方差.
④若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高一·全国·课时练习）某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中进行问卷调查，如果要在所有问卷中抽出120份用于评估.
（1）应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
（2）要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，若采用简单随机抽样，则应如何操作？
18．（12分）（23-24高一下·全国·课时练习）某大型企业针对改善员工福利的，，三种方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持方案 支持方案 支持方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁及以上的人数 100 100 400
（1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取人，已知从支持方案的人中抽取了6人，求的值.
（2）从支持方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是多少？年龄在35岁以下的人数是多少？
19．（12分）（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；
(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）.
20．（12分）（23-24高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.
21．（12分）（22-23高一下·河南鹤壁·期末）某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.
（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.
1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.
（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.
22．（12分）（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．第九章 统计全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高一下·天津·期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同；
B．有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为；
C．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲；
D．一组数，，，，，，，，，的分位数为．
【解题思路】由平均数、中位数、众数的求法判断A；由分层抽样的性质判断B；由方差的求法以及性质判断C；由百分位数的求法判断D.
【解答过程】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A正确；
对于B：设样本容量为，则，解得，故B错误；
对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；
对于D：因为，所以这组数据的分位数为，故D错误；
故选：A.
2．（5分）（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．01 B．02 C．14 D．19
【解题思路】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答过程】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于33的编号
去除重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，04；
则第5个个体的编号为01．
故选A．
3．（5分）（2024高三·全国·专题练习）2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表：
参加志愿者的天数
人数 10 70 20
若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】
先求出对应情况的概率，后利用分层抽样性质求出人数即可.
【解答过程】由题意得选中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人概率为，
由分层抽样性质得，抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为，显然A正确.
故选：A.
4．（5分）（2024·陕西西安·模拟预测）国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（ ）
A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元
D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
【解题思路】
对于AB选项，由统计图可得答案；对于C选项，结合题目数据可得答案；对于D选项，由统计图数据结合居民消费水平计算公式可得答案.
【解答过程】
对于A，2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，故A错误；
对于B， 2018年至2022年我国城镇居民消费水平不是逐年提高，故B错误；
对于C，2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6473元，故C错误；
对于D，设我国农村人口数为，城镇人口数为，
则，化简得，
所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，故D正确．
故选：D.
5．（5分）（22-23高一下·云南昆明·期末）二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽取的坦克编号从小到大依次为，假设坦克的月生产量为，将区间分成个小区间：，，……，，，统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.若抽取的某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，则的估计值为（ ）
A．236 B．253 C．360 D．420
【解题思路】根据题意列出等式即可求解.
【解答过程】因为统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，
已知某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，
所以，
此时，解得.
故选：B.
6．（5分）（2023·天津北辰·三模）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人
【解题思路】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于的学生的频率，由此估计总体中体重低于的学生的人数，判断D.
【解答过程】由频率分布直方图可得众数为，A错误；
平均数为，C错误；
因为体重位于的频率分别为，
因为，
所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为，
则，
所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；
样本中低于的学生的频率为，
所以该校学生中低于的学生大约为，D错误；
故选：B.
7．（5分）（2024·河南郑州·一模）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多
【解题思路】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.
【解答过程】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，
则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.
“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项A正确；
对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，
其中从事技术岗位的人数占的比为，
则“后”从事技术岗位的人数占总人数的.
“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；
对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，
大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；
选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，
“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.
故选：D.
8．（5分）（23-24高三·云南昆明·阶段练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数；
②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解题思路】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【解答过程】①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7，
与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2024·湖北·模拟预测）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有15人吸烟 B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟 D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
【解题思路】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解.
【解答过程】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，
回答问题2且回答的“是”的人数为，
从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，
估计被调查者中吸烟的人数为.
故选：BC．
10．（5分）（2023·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ）
A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C．派遣的老年教师有144人
D．派遣的青年女教师有15人
【解题思路】
利用分层抽样结合各比例关系求解
【解答过程】因为，
所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%，
则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的，
则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B正确；
派遣的老年教师人数为，故C错误；
派遣的青年女教师的人数为，故D正确．
故选：ABD．
11．（5分）（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
【解题思路】
对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；
对于B选项，写出和的表达式即可；
对于C选项，根据中位数定义判断即可；
对于D选项，根据分位数定义判断即可.
【解答过程】A. 剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以 ，故A选项正确；
B.设，，
因为，所以，所以，
所以，故B选项正确；
C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；
D. ，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个；
，所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个；
因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确.
故选：ABD.
12．（5分）（23-24高一下·广西·开学考试）某班语文老师对该班甲 乙 丙 丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为3，众数为5；
乙：中位数为4，极差为3；
丙：中位数为4，平均数为3；
丁：平均数为3，方差为3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解题思路】利用中位数，众数，平均数，极差的意义结合举反例判断ABC,计算方差并且讨论求解.
【解答过程】对于A，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，所
以中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则正确.
对于B，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是，则B错误.
对于C，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3，
从而这7个数的平均数最小为，即这7个数的平均数不可能为3，故C正确.
对于，设这7个数分别为，则，
.
若7，则
,
从而这6个数可能是或或
或或或或或
或或，这与矛盾，
即这7个数中一定没有出现7，故D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为 05 .
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
【解题思路】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.
【解答过程】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.
故答案为：05.
14．（5分）（22-23高一下·新疆喀什·期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 12 件.
【解题思路】利用分层抽样的定义直接求解即可.
【解答过程】由题意知分层比为，且总抽量为件
故甲产品应抽件
故答案为：12.
15．（5分）（23-24高二·广西贵港·期中）已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为 -1 ．
【解题思路】设新数据的平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值.
【解答过程】解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为，
可得：，，由新数据平均数比方差大4，
可得，可得，
可得：，
由，可得，
可得当时，可得的最大值为：，
故答案为：.
16．（5分）（23-24高三上·上海宝山·期末）在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是 ①②③ .（写出所有正确选项）
①新数据的极差可能等于原数据的极差.
②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.
③若，则新数据的方差一定大于原数据方差.
④若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.
【解题思路】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于①，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，
此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以①正确；
对于②，不妨假设，
当时，若随机删去的成绩是，
此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以②正确；
对于③，若，即删去的数据恰为平均数，
根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以③正确；
对于④，若，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，
因为，此时原数据的分位数为第二数和第三个数的平均数；
删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得，
此时新数据的分位数为第二个数，
显然新数据的分位数小于原数据的分位数，所以④错误.
故答案为：①②③.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高一·全国·课时练习）某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中进行问卷调查，如果要在所有问卷中抽出120份用于评估.
（1）应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
（2）要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，若采用简单随机抽样，则应如何操作？
【解题思路】（1）总体由教职员工、初中生、高中生，三部分组成，所以采用分层抽样，并利用抽样比乘以每部分总人数，计算出每部分的抽取人数；
（2）考虑采用随机数表法抽取样本，步骤为：编号、规定初始位置、规定读取方向、读取并得到样本.
【解答过程】解:（1）由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量为120，总体容量为，则抽样比为，
所以，，，
所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64.
分层抽样的步骤：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；
②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目，在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本.
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论.
（2）如果用抽签法，要做3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：将3000份答卷都编上号码：0001，，0002，0003，…，3000；
②在随机数表上随机选取一个起始位置；
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，若读取的4位数大于3000，则去掉，若遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止；
④找出抽取号码对应的问卷组成样本.
18．（12分）（23-24高一下·全国·课时练习）某大型企业针对改善员工福利的，，三种方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持方案 支持方案 支持方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁及以上的人数 100 100 400
（1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取人，已知从支持方案的人中抽取了6人，求的值.
（2）从支持方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是多少？年龄在35岁以下的人数是多少？
【解题思路】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值；
（2）根据抽样比即可求出年龄在35岁以下，及年龄在35岁及以上的人数.
【解答过程】（1）由题意得，解得.
（2）年龄在35岁以下的人数为，
年龄在35岁及以上的人数为.
19．（12分）（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；
(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）.
【解题思路】（1）利用分层抽样的定义求解即可；
（2）利用平均数公式求解即可；
（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可.
【解答过程】（1）成绩在的人数为（人），
成绩在的人数为（人），
则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人，
成绩低于50分的人数为（人）.
故5人中成绩低于50分的人数为2人；
（2）由，得，
则平均数，
故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分；
（3）根据频率分布直方图可知：
的频率为，的频率为，
所以入围复赛的成绩一定在，
可知入围复赛的成绩的临界值为，
则，解得，
故估计入围复赛的成绩为分.
20．（12分）（23-24高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.
【解题思路】
（1）由折线图提供的数据，利用平均数公式代入计算即可；
（2）分别找出甲乙两厂的所有标准轮胎宽度的数据，再分别求出平均值与方差，即可判断.
【解答过程】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为：
；
乙厂轮胎宽度的平均值为：
；
所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194.
（2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：
，其平均数为：，
其方差为：；
乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：
，其平均数为：，
其方差为：；
从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.
21．（12分）（22-23高一下·河南鹤壁·期末）某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.
（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.
1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.
（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.
【解题思路】（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；
（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；
（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.
【解答过程】（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，
所以抽取的第6个观众的编号为42；
（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；
（3）记选择科技类的6人成绩分别为：，
选择文艺类的4人成绩分别为：，
由题：，，
，，
所以这10名选手的平均数为
方差为
.
22．（12分）（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【解题思路】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数；
（2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得；
（3）利用样本平均数，方差公式化简即证.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）由题得①；②
又
同理，
∴
.
