第十章 概率全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版（2019）】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高一·全国·课前预习）下面的事件：
①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；
②，则；
③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．
其中是不可能事件的为（ ）
A．② B．① C．①② D．③
2．（5分）（23-24高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（ ）
A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨
C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋
3．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
4．（5分）（23-24高一上·山西太原·期末）经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为
A． B． C． D．
5．（5分）（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
6．（5分）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ）
A． B． R与G互斥但不对立
C． D．S与T相互独立
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高二上·四川成都·期中）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
10．（5分）（23-24高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件
B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1
C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点
D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为
11．（5分）（23-24高二上·湖北·阶段练习）设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
14．（5分）（23-24高二下·四川成都·阶段练习）随机事件A，B相互独立，且，，则=
．
15．（5分）（23-24高二上·重庆·阶段练习）采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 .
16．（5分）（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高一上·全国·课后作业）下列现象中，随机现象有哪些？
（1）某射手射击一次，射中10环；
（2）同时掷两颗骰子，都出现6点；
（3）某人购买福利彩票未中奖；
（4）若x为实数，则.
18．（12分）（2024高一下·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
19．（12分）（23-24高一上·广西桂林·期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.
20．（12分）（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
21．（12分）（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异．
(1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率；
(2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？
22．（12分）（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率第十章 概率全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高一·全国·课前预习）下面的事件：
①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；
②，则；
③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．
其中是不可能事件的为（ ）
A．② B．① C．①② D．③
【解题思路】利用必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可.
【解答过程】对于①，在标准大气压下，水加热到沸腾的概率为，为不可能事件；
对于②，由乘法交换律可知：，则发生概率为，为必然事件；
对于③，一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上为随机事件.
故选：B.
2．（5分）（23-24高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（ ）
A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨
C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋
【解题思路】根据概率的实际意义即可判断.
【解答过程】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确，
故选：D.
3．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【解题思路】
AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到.
【解答过程】
对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有，
当A，B不互斥时，，A选项错误；
对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误；
对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确；
对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误；
故选：C.
4．（5分）（23-24高一上·山西太原·期末）经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为
A． B． C． D．
【解题思路】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，据此可求出对应的概率．
【解答过程】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.
故选A.
5．（5分）（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【解题思路】
利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得.
【解答过程】由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得，
又和对立，可得，解得.
故选：B.
6．（5分）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用古典概型计算公式先列举出所有基本事件数，再求出是孪生素数的事件数即可求得结果.
【解答过程】不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个，
共有，10种情况，
其中孪生素数有，共2种情况，
由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.
故选：C.
7．（5分）（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
【解答过程】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，
甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
故选：D．
8．（5分）（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ）
A． B． R与G互斥但不对立
C． D．S与T相互独立
【解题思路】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解，
【解答过程】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件，
所以，故A正确；
对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，
所以R与G互斥但不对立，故B正确；
对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
所以，故C正确；
对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有：
，共12种结果，
事件S包含这6种结果，，
事件T包含这6种结果，，
事件ST包含这2种结果，，
，所以S与T不是相互独立事件，故D错误.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高二上·四川成都·期中）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
【解题思路】
根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.
【解答过程】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；
对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；
对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.
故选: ABC.
10．（5分）（23-24高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件
B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1
C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点
D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为
【解题思路】由随机事件以及它的概率范围即可判断AB，由样本点，样本空间的定义即可判断CD.
【解答过程】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；
对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确；
对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；
对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误.
故选：BC.
11．（5分）（23-24高二上·湖北·阶段练习）设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据古典概型公式及互斥事件概率加法公式逐项求解判断即可.
【解答过程】从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确；
，故C错误；
，故D正确；
，故B正确.
故选：ABD.
12．（5分）（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
【解题思路】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【解答过程】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 16 个.
【解题思路】
设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可.
【解答过程】
设袋中红球有个，根据题意，得，解得：，
经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个.
故答案为：16.
14．（5分）（23-24高二下·四川成都·阶段练习）随机事件A，B相互独立，且，，则=
．
【解题思路】根据独立事件结合概率运算的性质，直接计算即可.
【解答过程】因为，所以.
又因为，相互独立，所以 .
故答案为：.
15．（5分）（23-24高二上·重庆·阶段练习）采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 .
【解题思路】根据题意，得到这20组随机数中一次为没有击中目标的次数，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【解答过程】根据题意，这20组随机数中一次也没有击中目标的有，共有3组，
所以，这20组随机数中至少有一次击中目标的概率为.
故答案为：.
16．（5分）（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 .
【解题思路】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【解答过程】由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件的总数为个，
则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：
，
共有15个，
所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高一上·全国·课后作业）下列现象中，随机现象有哪些？
（1）某射手射击一次，射中10环；
（2）同时掷两颗骰子，都出现6点；
（3）某人购买福利彩票未中奖；
（4）若x为实数，则.
【解题思路】
根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可求解．
【解答过程】
某射手射击一次，射中10环是随机事件；
同时掷两枚骰子，都出现6点是随机事件；
某人购买福利彩票未中奖是随机事件；
若为实数，则是必然事件．
18．（12分）（2024高一下·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【解题思路】（1）写出事件包含的基本事件，利用事件的运算性质进行求解；
（2）在（1）的基础上进行求解；
（3）写出事件，并结合（1）得到答案.
【解答过程】（1）事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}，
事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}，
事件包含的基本事件为{出现1,2点}，
故，{出现2点}；
（2）＝{出现1,2,3,4,5或6点}，
＝{出现1,2,4或6点}．
（3）＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
＝{出现1点}．
19．（12分）（23-24高一上·广西桂林·期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.
【解题思路】（1）写出所有可能发生的情况即可；
（2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率.
【解答过程】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共10个样本点.
（2）设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”,
则，
中包含9个样本点,所以.
20．（12分）（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
【解题思路】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求；
（2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润.
【解答过程】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为．
（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）．
乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．
21．（12分）（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异．
(1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率；
(2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？
【解题思路】（1）首先列举样本空间，再求事件，根据古典概型概率公式，即可求；
（2）利用样本空间法，求，，以及，判断是否等于，即可判断是否独立.
【解答过程】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间
，其中，
事件 ，其中
所以.
（2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间
，其中，
事件
，其中，
，其中，
事件，,
所以，，,
因为，所以事件与事件相互独立.
22．（12分）（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率
【解题思路】
（1）（2）根据给定条件，把所求概率的事件分拆成互斥事件的和，再结合相互独立事件的概率公式计算即得.
【解答过程】（1）
甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，且丙获得冠军的情况有2种：
①首先甲乙比赛，甲胜，然后甲丙比赛，丙胜，再由乙丙比赛，丙胜，
概率为：；
②首先甲乙比赛，乙胜，然后乙丙比赛，丙胜，再由甲丙比赛，丙胜，
概率为：，
所以丙获得冠军的概率．
（2）
甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，且甲获得冠军的情况有2种：
①乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为：；
②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，概率为：，
所以甲获得冠军的概率．
